Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если высота равна 8 и делит гипотенузу на отрезки, разность которых составляет 30?

Математика 10 класс Геометрия длина гипотенузы прямоугольный треугольник высота 8 отрезки гипотенузы разность отрезков 30 Новый

Для решения задачи начнем с обозначения необходимых величин. Обозначим гипотенузу прямоугольного треугольника как c, а отрезки, на которые высота делит гипотенузу, обозначим как x и y. По условию задачи, разность этих отрезков составляет 30:

• x - y = 30

Также мы знаем, что высота (h) равна 8. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, связана с отрезками, на которые она делит гипотенузу, формулой:

• h = (xy) / c

Теперь мы можем выразить y через x из первого уравнения:

• y = x - 30

Теперь подставим это значение y во второе уравнение:

• 8 = (x * (x - 30)) / c

Перепишем это уравнение:

• 8c = x * (x - 30)

Теперь раскроем скобки:

• 8c = x^2 - 30x

Теперь нам нужно выразить c через x:

• c = (x^2 - 30x) / 8

Теперь мы можем выразить c в зависимости от x. Для нахождения x мы можем воспользоваться тем, что сумма отрезков x и y равна гипотенузе:

• c = x + y = x + (x - 30) = 2x - 30

Теперь мы имеем два выражения для c:

• c = (x^2 - 30x) / 8
• c = 2x - 30

Приравняем эти два выражения:

• (x^2 - 30x) / 8 = 2x - 30

Умножим обе стороны на 8, чтобы избавиться от дроби:

• x^2 - 30x = 16x - 240

Теперь перенесем все в одну сторону:

• x^2 - 30x - 16x + 240 = 0
• x^2 - 46x + 240 = 0

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 * 1 * 240 = 2116 - 960 = 1156

Теперь найдем корни уравнения:

• x = (46 ± √1156) / 2 = (46 ± 34) / 2

Таким образом, у нас есть два значения для x:

• x1 = (80) / 2 = 40
• x2 = (12) / 2 = 6

Теперь найдем соответствующие значения y:

• y1 = x1 - 30 = 40 - 30 = 10
• y2 = x2 - 30 = 6 - 30 = -24 (это значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Теперь, когда у нас есть x = 40 и y = 10, можем найти длину гипотенузы:

• c = x + y = 40 + 10 = 50

Таким образом, длина гипотенузы равна 50.