Какова исходная дробь, если числитель обыкновенной дроби на 5 меньше её знаменателя, и при уменьшении числителя на 3 и увеличении знаменателя на 4 полученная дробь будет на 1/3 меньше исходной?

Математика 10 класс Обыкновенные дроби исходная дробь обыкновенная дробь числитель знаменатель уменьшение числителя увеличение знаменателя математическая задача дроби решение уравнения пропорции Новый

Давайте обозначим числитель обыкновенной дроби как x, а знаменатель как y. По условию задачи у нас есть две основные информации:

1. Числитель на 5 меньше знаменателя: x = y - 5.
2. Если мы уменьшаем числитель на 3 и увеличиваем знаменатель на 4, то новая дробь будет на 1/3 меньше исходной: (x - 3) / (y + 4) = (x / y) - 1/3.

Теперь подставим первое уравнение во второе. Заменим x на y - 5 в уравнении:

(y - 5 - 3) / (y + 4) = (y - 5) / y - 1/3

Упростим это уравнение:

((y - 8) / (y + 4) = (y - 5) / y - 1/3

Теперь умножим обе стороны уравнения на 3y(y + 4), чтобы избавиться от дробей:

3y(y - 8) = 3(y - 5)(y + 4) - y(y + 4)

Раскроем скобки:

3y^2 - 24y = 3(y^2 - y + 20) - y^2 - 4y

Упрощаем правую часть:

3y^2 - 24y = 3y^2 - 3y + 60 - y^2 - 4y

Соберем все слагаемые:

3y^2 - 24y = 2y^2 - 7y + 60

Теперь перенесем все на одну сторону:

3y^2 - 24y - 2y^2 + 7y - 60 = 0

Упрощаем:

y^2 - 17y - 60 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 41(-60) = 289 + 240 = 529

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

y = (17 ± √529) / 2 = (17 ± 23) / 2

Таким образом, находим:

• y1 = (17 + 23) / 2 = 20
• y2 = (17 - 23) / 2 = -3 (отрицательное значение не подходит, так как знаменатель не может быть отрицательным)

Теперь, когда мы нашли y = 20, подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти x:

x = y - 5 = 20 - 5 = 15

Таким образом, исходная дробь равна:

15/20 или 3/4 (упрощенная форма).

Ответ: исходная дробь 3/4.