Похожие вопросы
2025-01-08 15:14:29
Какова исходная дробь, если числитель обыкновенной дроби на 5 меньше её знаменателя, и при уменьшении числителя на 3 и увеличении знаменателя на 4 полученная дробь будет на 1/3 меньше исходной?
Математика 10 класс Обыкновенные дроби исходная дробь обыкновенная дробь числитель знаменатель уменьшение числителя увеличение знаменателя математическая задача дроби решение уравнения пропорции
2025-01-08 15:14:48
Давайте обозначим числитель обыкновенной дроби как x, а знаменатель как y. По условию задачи у нас есть две основные информации:
- Числитель на 5 меньше знаменателя: x = y - 5.
- Если мы уменьшаем числитель на 3 и увеличиваем знаменатель на 4, то новая дробь будет на 1/3 меньше исходной: (x - 3) / (y + 4) = (x / y) - 1/3.
Теперь подставим первое уравнение во второе. Заменим x на y - 5 в уравнении:
(y - 5 - 3) / (y + 4) = (y - 5) / y - 1/3Упростим это уравнение:
((y - 8) / (y + 4) = (y - 5) / y - 1/3Теперь умножим обе стороны уравнения на 3y(y + 4), чтобы избавиться от дробей:
3y(y - 8) = 3(y - 5)(y + 4) - y(y + 4)Раскроем скобки:
3y^2 - 24y = 3(y^2 - y + 20) - y^2 - 4yУпрощаем правую часть:
3y^2 - 24y = 3y^2 - 3y + 60 - y^2 - 4yСоберем все слагаемые:
3y^2 - 24y = 2y^2 - 7y + 60Теперь перенесем все на одну сторону:
3y^2 - 24y - 2y^2 + 7y - 60 = 0Упрощаем:
y^2 - 17y - 60 = 0Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4*1*(-60) = 289 + 240 = 529Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:
y = (17 ± √529) / 2 = (17 ± 23) / 2Таким образом, находим:
- y1 = (17 + 23) / 2 = 20
- y2 = (17 - 23) / 2 = -3 (отрицательное значение не подходит, так как знаменатель не может быть отрицательным)
Теперь, когда мы нашли y = 20, подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти x:
x = y - 5 = 20 - 5 = 15Таким образом, исходная дробь равна:
15/20 или 3/4 (упрощенная форма).Ответ: исходная дробь 3/4.
