Какова высота правильного треугольника, если радиус окружности, вписанной в него, равен 40?

Математика 10 класс Геометрия высота правильного треугольника радиус окружности вписанная окружность задачи по математике геометрия треугольника Новый

Чтобы найти высоту правильного треугольника, зная радиус вписанной окружности (r), можно воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Определим формулы.

Для правильного треугольника существуют следующие важные соотношения:

• Площадь правильного треугольника (S) можно выразить через радиус вписанной окружности (r) и полупериметр (p): S = r * p.
• Полупериметр (p) равен p = (3a) / 2, где a - длина стороны треугольника.
• Площадь правильного треугольника также можно выразить через длину стороны (a): S = (a^2 * sqrt(3)) / 4.

Шаг 2: Найдем полупериметр.

Так как радиус вписанной окружности равен 40, мы можем подставить это значение в формулу для площади:

S = r * p = 40 * p.

Шаг 3: Подставим значение полупериметра.

Подставим p в формулу:

S = 40 * (3a / 2) = 60a.

Шаг 4: Найдем площадь через сторону.

Теперь используем формулу для площади через сторону:

(a^2 * sqrt(3)) / 4 = 60a.

Шаг 5: Упростим уравнение.

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

a^2 * sqrt(3) = 240a.

Теперь перенесем все в одну сторону:

a^2 * sqrt(3) - 240a = 0.

Факторизуем:

a(a * sqrt(3) - 240) = 0.

Таким образом, a = 0 или a = 240 / sqrt(3).

Шаг 6: Найдем высоту.

Высота (h) правильного треугольника может быть найдена по формуле:

h = (a * sqrt(3)) / 2.

Подставляем a = 240 / sqrt(3):

h = (240 / sqrt(3) * sqrt(3)) / 2 = 240 / 2 = 120.

Ответ:

Высота правильного треугольника равна 120.