Какой угол между векторами AB и CD, если даны точки A(1;-5; 0), B(-3; 3;-4), C(-1;-2; 0) и D(-5; 6;-4)?

Математика 10 класс Векторы в пространстве угол между векторами векторы AB и CD точки A B C D математика 10 класс геометрия векторная алгебра Новый

Чтобы найти угол между векторами AB и CD, нам нужно сначала определить координаты этих векторов. Векторы AB и CD можно найти, вычитая координаты начальной точки из координат конечной точки.

1. **Находим вектор AB:**

• Координаты точки A: (1; -5; 0)
• Координаты точки B: (-3; 3; -4)
• Вектор AB = B - A = (-3 - 1; 3 - (-5); -4 - 0) = (-4; 8; -4)

Таким образом, вектор AB имеет координаты (-4; 8; -4).

2. **Находим вектор CD:**

• Координаты точки C: (-1; -2; 0)
• Координаты точки D: (-5; 6; -4)
• Вектор CD = D - C = (-5 - (-1); 6 - (-2); -4 - 0) = (-4; 8; -4)

Вектор CD также имеет координаты (-4; 8; -4).

3. **Теперь найдем угол между векторами AB и CD.** Для этого используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)

где A · B - скалярное произведение векторов, а |A| и |B| - длины векторов.

4. **Находим скалярное произведение векторов AB и CD:**

• AB · CD = (-4) * (-4) + 8 * 8 + (-4) * (-4) = 16 + 64 + 16 = 96

5. **Находим длину векторов AB и CD:**

• |AB| = √((-4)^2 + 8^2 + (-4)^2) = √(16 + 64 + 16) = √96 = 4√6
• |CD| = √((-4)^2 + 8^2 + (-4)^2) = √(16 + 64 + 16) = √96 = 4√6

6. **Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:**

cos(θ) = 96 / (4√6 * 4√6) = 96 / (16 * 6) = 96 / 96 = 1

7. **Находим угол θ:**

Если cos(θ) = 1, это означает, что угол θ = 0 градусов.

Ответ: Угол между векторами AB и CD равен 0 градусов, что говорит о том, что векторы коллинеарны и направлены в одну сторону.