Какой вопрос можно задать по предмету Математика, если дан куб ABCDA1B1C1D1, и нужно доказать, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости AD1C1, а также найти угол между плоскостями AD1C1 и A1D1C?

Математика 10 класс Геометрия куб ABCDA1B1C1D1 прямая BD1 перпендикулярность плоскость AD1C1 Угол между плоскостями математика геометрия доказательство свойства куба Новый

Вопрос, который можно задать, может звучать следующим образом:

Как доказать, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости AD1C1, и как найти угол между плоскостями AD1C1 и A1D1C в кубе ABCDA1B1C1D1?

Для решения этой задачи, давайте сначала разберем шаги, необходимые для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, а затем найдем угол между двумя плоскостями.

Шаг 1: Доказательство перпендикулярности прямой BD1 и плоскости AD1C1

• Определим координаты вершин куба. Пусть A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(1, 1, 1), D1(0, 1, 1).
• Найдем векторы, которые определяют прямую BD1. Вектор BD1 будет равен D1 - B = (0, 1, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 1).
• Теперь найдем нормальный вектор плоскости AD1C1. Для этого возьмем два вектора, лежащих в этой плоскости: AD1 и AC1.
• Вектор AD1 = D1 - A = (0, 1, 1) - (0, 0, 0) = (0, 1, 1).
• Вектор AC1 = C1 - A = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1).
• Теперь найдем нормальный вектор плоскости AD1C1, используя векторное произведение AD1 и AC1.
• Нормальный вектор N = AD1 x AC1 = |i j k|
  |0 1 1|
  |1 1 1| = (1, -1, 1).
• Теперь проверим, перпендикулярны ли вектор BD1 и нормальный вектор N. Для этого найдем скалярное произведение:
• BD1 · N = (-1, 1, 1) · (1, -1, 1) = -1 - 1 + 1 = -1, что не равно 0.
• Таким образом, прямая BD1 не перпендикулярна плоскости AD1C1.

Шаг 2: Нахождение угла между плоскостями AD1C1 и A1D1C

• Для нахождения угла между двумя плоскостями, нужно использовать их нормальные векторы.
• Мы уже нашли нормальный вектор N1 плоскости AD1C1, который равен (1, -1, 1).
• Теперь найдем нормальный вектор для плоскости A1D1C. Для этого возьмем два вектора, лежащих в этой плоскости: A1D1 и A1C.
• Вектор A1D1 = D1 - A1 = (0, 1, 1) - (0, 0, 1) = (0, 1, 0).
• Вектор A1C = C - A1 = (1, 1, 0) - (0, 0, 1) = (1, 1, -1).
• Теперь найдем нормальный вектор плоскости A1D1C, используя векторное произведение A1D1 и A1C.
• Нормальный вектор N2 = A1D1 x A1C = |i j k|
  |0 1 0|
  |1 1 -1| = (1, 0, -1).
• Теперь можем найти угол между нормальными векторами N1 и N2, используя формулу:
• cos(θ) = (N1 · N2) / (|N1| * |N2|).
• Сначала найдем скалярное произведение N1 и N2:
• N1 · N2 = (1, -1, 1) · (1, 0, -1) = 1 + 0 - 1 = 0.
• Так как скалярное произведение равно 0, это означает, что угол между плоскостями равен 90 градусам.

Таким образом, мы доказали, что прямая BD1 не перпендикулярна плоскости AD1C1, а угол между плоскостями AD1C1 и A1D1C равен 90 градусов.