На рисунке 53 а изображён куб ABCDA1B1C1D1. Прямая O=AC пересекает BD, а точка P - это середина диагонали A1C куба. Какова градусная мера угла между прямыми PO и AB?

Математика 10 класс Геометрия угол между прямыми куб ABCDA1B1C1D1 диагонали A1C прямая O=AC точка P середина диагонали прямая BD градусная мера угла математика геометрия Новый

Для решения задачи о нахождении угла между прямыми PO и AB в кубе ABCDA1B1C1D1, начнем с определения координат вершин куба и необходимых векторов.

1. Определение координат вершин куба:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

2. Нахождение координат точки P:

Точка P является серединой диагонали A1C. Для нахождения координат точки P, найдем координаты точек A1 и C:

• A1(0, 0, 1)
• C(1, 1, 0)

Координаты точки P вычисляются как:

• P = ((0 + 1)/2, (0 + 1)/2, (1 + 0)/2) = (0.5, 0.5, 0.5)

3. Определение векторов PO и AB:

Теперь найдем векторы PO и AB:

• Вектор PO: O = AC, где A(0, 0, 0) и C(1, 1, 0). Вектор AC = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0).
• Вектор AB: B(1, 0, 0) и A(0, 0, 0). Вектор AB = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0).

4. Нахождение угла между векторами PO и AB:

Для нахождения угла между двумя векторами можно использовать формулу:

cos(θ) = (PO · AB) / (|PO| * |AB|),

где "·" - скалярное произведение векторов, а |PO| и |AB| - длины векторов.

5. Вычисление скалярного произведения:

Сначала найдем длины векторов:

• |PO| = sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2) = sqrt(2)
• |AB| = sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2) = 1

Теперь найдем скалярное произведение:

• PO · AB = (1, 1, 0) · (1, 0, 0) = 1 * 1 + 1 * 0 + 0 * 0 = 1.

6. Подставляем значения в формулу:

cos(θ) = 1 / (sqrt(2) * 1) = 1/sqrt(2).

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(1/sqrt(2)) = 45 градусов.

7. Ответ:

Градусная мера угла между прямыми PO и AB равна 45 градусам.