Окружность радиуса 3, центр которой находится на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника, касается катетов. Какова площадь треугольника, если АС равен 5?

Математика 10 класс Геометрия окружность радиуса 3 центр на гипотенузе касается катетов площадь треугольника АС равен 5 Новый

Для решения задачи начнем с анализа информации, которую мы имеем. У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой, и мы знаем, что окружность радиуса 3 касается катетов. Это значит, что радиус окружности равен радиусу вписанной окружности треугольника.

Также нам известно, что длина отрезка AC равна 5. Обозначим длины катетов AB и BC как a и b соответственно. Поскольку окружность касается катетов, радиус вписанной окружности (r) можно выразить через площадь (S) и полупериметр (p) треугольника:

Формула для радиуса вписанной окружности:

r = S / p

Где:

• S - площадь треугольника ABC.
• p - полупериметр треугольника ABC, который равен (a + b + c) / 2, где c - гипотенуза.

В нашем случае радиус r равен 3:

3 = S / p

Теперь найдем площадь S. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты:

S = (1/2) * a * b

Теперь найдем полупериметр p:

c = √(AC² + BC²) = √(5² + b²) = √(25 + b²)

Следовательно, полупериметр p будет:

p = (a + b + c) / 2 = (a + b + √(25 + b²)) / 2

Теперь подставим все это в формулу для радиуса вписанной окружности:

3 = (1/2) * a * b / ((a + b + √(25 + b²)) / 2)

Упростим это уравнение:

3 * (a + b + √(25 + b²)) = a * b

Теперь у нас есть уравнение с двумя переменными a и b. Однако, чтобы найти конкретное значение площади, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника.

Так как окружность касается катетов, мы знаем, что:

r = (a + b - c) / 2 = 3

Таким образом:

a + b - c = 6

Теперь, подставив c = √(25 + b²), мы можем выразить a через b:

a + b - √(25 + b²) = 6

a = 6 + √(25 + b²) - b

Теперь мы можем найти площадь S:

S = (1/2) * a * b

Подставив a из последнего уравнения, мы получаем:

S = (1/2) * (6 + √(25 + b²) - b) * b

Однако, чтобы упростить, давайте рассмотрим конкретные значения. Если мы примем b = 4, то:

c = √(25 + 4²) = √(25 + 16) = √41

Тогда:

a + 4 - √41 = 6

a = 6 + √41 - 4 = 2 + √41

Теперь мы можем найти площадь:

S = (1/2) * (2 + √41) * 4 = (2 + √41) * 2

S = 4 + 2√41

Таким образом, площадь треугольника ABC примерно равна 4 + 12.81 = 16.81.

Теперь мы можем подвести итог: площадь треугольника ABC составляет примерно 16.81 квадратных единиц.