По координатам вершин треугольника ∆ABC определить:

• уравнение линии BC ;

• уравнение высоты AK ;

• длину высоты AK ;

• уравнение прямой (l), проходящей через точку A и параллельной прямой BC ;

• уравнение медианы (AM ), проведенной из вершины A;

• угол (ϕ), образованный медианой из вершины A и стороной AB;

• площадь треугольника ABC ;

• периметр треугольника ABC .

Пример : A(1, 0), B(7, 3), C(4, 4)

Математика 10 класс Геометрия уравнение линии BC уравнение высоты AK длина высоты AK уравнение прямой A уравнение медианы AM угол медианы A площадь треугольника ABC периметр треугольника ABC Новый

Давайте разберем задачу по шагам, используя заданные координаты вершин треугольника A(1, 0), B(7, 3), C(4, 4).

1. Уравнение линии BC:

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки B и C. Для этого используем формулу для нахождения углового коэффициента (k):

• k = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) = B(7, 3) и (x2, y2) = C(4, 4).

Подставим значения:

• k = (4 - 3) / (4 - 7) = 1 / (-3) = -1/3.

Теперь можем записать уравнение прямой в общем виде: y - y1 = k(x - x1).

• y - 3 = -1/3(x - 7).

Упрощаем:

• y - 3 = -1/3x + 7/3;
• y = -1/3x + 7/3 + 9/3;
• y = -1/3x + 16/3.

Таким образом, уравнение линии BC: y = -1/3x + 16/3.

2. Уравнение высоты AK:

Высота AK перпендикулярна линии BC, следовательно, её угловой коэффициент будет равен обратному и противоположному значению k:

• k_AK = 3.

Теперь используем точку A(1, 0) для нахождения уравнения высоты:

• y - 0 = 3(x - 1);
• y = 3x - 3.

Уравнение высоты AK: y = 3x - 3.

3. Длина высоты AK:

Чтобы найти длину высоты, нужно найти расстояние от точки A до прямой BC. Используем формулу для расстояния от точки до прямой:

• d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2), где A, B, C - коэффициенты уравнения прямой.

Приведем уравнение BC к стандартному виду: x + 3y - 16 = 0. Тогда A = 1, B = 3, C = -16.

Подставим координаты точки A(1, 0):

• d = |1*1 + 3*0 - 16| / sqrt(1^2 + 3^2) = |1 - 16| / sqrt(10) = 15 / sqrt(10).

Таким образом, длина высоты AK: 15 / sqrt(10).

4. Уравнение прямой (l), проходящей через точку A и параллельной прямой BC:

Так как прямая (l) параллельна BC, её угловой коэффициент будет таким же, как у BC:

• y - 0 = -1/3(x - 1);
• y = -1/3x + 1/3.

Уравнение прямой (l): y = -1/3x + 1/3.

5. Уравнение медианы (AM), проведенной из вершины A:

Сначала найдем координаты середины отрезка BC. Середина M рассчитывается по формуле:

• M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) = ((7 + 4)/2, (3 + 4)/2) = (11/2, 7/2).

Теперь найдем уравнение прямой AM:

• Угловой коэффициент k_AM = (7/2 - 0) / (11/2 - 1) = (7/2) / (9/2) = 7/9.

Записываем уравнение прямой AM:

• y - 0 = (7/9)(x - 1);
• y = (7/9)x - 7/9.

Уравнение медианы AM: y = (7/9)x - 7/9.

6. Угол (ϕ), образованный медианой из вершины A и стороной AB:

Для нахождения угла между двумя прямыми используем формулу:

• tg(ϕ) = |(k1 - k2) / (1 + k1*k2)|, где k1 = 3 (угловой коэффициент AK) и k2 = (3 - 0) / (7 - 1) = 1/2 (угловой коэффициент AB).

Подставляем значения:

• tg(ϕ) = |(3 - 1/2) / (1 + 3 * 1/2)| = |(5/2) / (4)| = 5/8.

Таким образом, угол ϕ можно найти через арктангенс, но для этого нужно использовать калькулятор.

7. Площадь треугольника ABC:

Площадь треугольника можно найти по формуле:

• S = 1/2 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|.

Подставляем координаты:

• S = 1/2 * |1(3 - 4) + 7(4 - 0) + 4(0 - 3)| = 1/2 * |1*(-1) + 7*4 + 4*(-3)| = 1/2 * | -1 + 28 - 12| = 1/2 * |15| = 7.5.

Таким образом, площадь треугольника ABC: 7.5.

8. Периметр треугольника ABC:

Периметр треугольника можно найти, сложив длины всех его сторон:

• AB = sqrt((7 - 1)^2 + (3 - 0)^2) = sqrt(36 + 9) = sqrt(45) = 3sqrt(5);
• BC = sqrt((4 - 7)^2 + (4 - 3)^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt(10);
• CA = sqrt((4 - 1)^2 + (4 - 0)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.

Теперь складываем длины сторон:

• P = AB + BC + CA = 3sqrt(5) + sqrt(10) + 5.

Таким образом, периметр треугольника ABC: 3sqrt(5) + sqrt(10) + 5.

На этом всё! Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать!

1 2 3 4 5