Задание 1: Найдите область определения функции

Для нахождения области определения функции нужно определить, при каких значениях переменной х выражение функции имеет смысл.

• а) у=√(2х-х^2)

Под корнем должно быть неотрицательное число. То есть:

2х - х² ≥ 0.

Решим неравенство:

1. Перепишем его в виде: х(2 - х) ≥ 0.
2. Найдем корни: х = 0 и х = 2.
3. Построим числовую прямую и определим знаки на интервалах: (-∞, 0), (0, 2), (2, +∞).
4. Проверим знаки:
   • На интервале (-∞, 0) - выражение отрицательное.
   • На интервале (0, 2) - выражение положительное.
   • На интервале (2, +∞) - выражение отрицательное.
5. Следовательно, область определения: [0, 2].
• б) у= 9/(х+5)^3

В данной функции знаменатель не должен равняться нулю:

х + 5 ≠ 0.

Решим это неравенство:

х ≠ -5.

Таким образом, область определения данной функции: (-∞, -5) ∪ (-5, +∞).

Задание 2: Постройте график функции у=((х+1)^4/3))+1

Для нахождения области определения функции нужно выяснить, при каких значениях х выражение имеет смысл. Поскольку выражение (х + 1) в степени 4/3 определено для всех х, область определения: R (все действительные числа).

Теперь найдем область значений. Минимальное значение (х + 1) будет равно 0, когда х = -1. Подставляя это значение, получаем:

у = (0)^(4/3) + 1 = 1.

Таким образом, область значений: [1, +∞).

График функции можно построить, используя точки и асимптоты, но я не могу его нарисовать. Рекомендуется использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков, чтобы визуализировать функцию.

Задание 3: Найдите функцию, обратную к данной, её область определения и область значений: у=⁴√(х-3)

Чтобы найти обратную функцию, выразим х через у:

у = ⁴√(х - 3) => х - 3 = у^4 => х = у^4 + 3.

Таким образом, обратная функция: х = у^4 + 3.

Теперь найдем область определения и область значений:

• Область определения: у ≥ 0 (так как под корнем не может быть отрицательное значение), то область определения: [0, +∞).
• Область значений: х ≥ 3 (так как у^4 всегда неотрицательно), то область значений: [3, +∞).

Задание 4: Решите уравнения

• а) √(5-4х) = 3,2

Квадратируем обе стороны:

5 - 4х = 10,24.

Решаем: 4х = 5 - 10,24 => 4х = -5,24 => х = -1,31.

Проверяем: √(5 - 4*(-1,31)) = √(5 + 5,24) = √10,24, что не равно 3,2. Значит, решения нет.

• б) √(4х^2 - 3х - 1) = х + 1

Квадратируем обе стороны:

4х^2 - 3х - 1 = (х + 1)^2.

Переносим все в одну сторону:

4х^2 - 3х - 1 - (х^2 + 2х + 1) = 0.

Упрощаем: 3х^2 - 5х - 2 = 0.

Решаем с помощью дискриминанта:

D = (-5)^2 - 4*3*(-2) = 25 + 24 = 49.

Корни: х1 = (5 + 7)/6 = 2, х2 = (5 - 7)/6 = -1/3.

Проверяем оба корня в исходном уравнении. Оба корня подходят.

Задание 5: Решите неравенство

√(2х - х² + 1) ≥ 2х - 3.

Для начала, под корнем должно быть неотрицательное значение:

2х - х² + 1 ≥ 0.

Решаем это неравенство:

-х² + 2х + 1 ≥ 0.

Корни: х = 1 и х = -1 (проверяем знаки на интервалах).

На интервале (-∞, -1) - отрицательно, ( -1, 1) - положительно, (1, +∞) - отрицательно.

Следовательно, область: [-1, 1].

Теперь решаем основное неравенство: √(2х - х² + 1) ≥ 2х - 3. Поднимаем обе стороны в квадрат:

2х - х² + 1 ≥ (2х - 3)².

Решаем и находим, что область решения: [1, +∞).

Итак, итоговый ответ по неравенству: [-1, 1].