Для решения квадратного неравенства 0,75x² + 9,5x + 1,375 > 0 с помощью метода интервалов, необходимо выполнить несколько шагов.

Сначала упростим неравенство, разделив все его части на 0,75 (так как 0,75 > 0, это не изменит знак неравенства):

x² + (9,5 / 0,75)x + (1,375 / 0,75) > 0

Теперь вычислим коэффициенты:

• 9,5 / 0,75 = 12,6667
• 1,375 / 0,75 = 1,8333

Таким образом, неравенство принимает вид:

x² + 12,6667x + 1,8333 > 0

Для нахождения корней соответствующего квадратного уравнения x² + 12,6667x + 1,8333 = 0, воспользуемся дискриминантом:

D = b² - 4ac, где a = 1, b = 12,6667, c = 1,8333.

Подставим значения:

D = (12,6667)² - 4 * 1 * 1,8333

D = 160,4444 - 7,3332 = 153,1112

Так как D > 0, у уравнения два различных корня.

Корни можно найти по формуле:

x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

• x₁ = (-12,6667 + √153,1112) / 2
• x₂ = (-12,6667 - √153,1112) / 2

Рассчитаем корни:

• √153,1112 ≈ 12,37
• x₁ ≈ (-12,6667 + 12,37) / 2 ≈ -0,14835
• x₂ ≈ (-12,6667 - 12,37) / 2 ≈ -12,51835

Теперь, имея корни x₁ ≈ -0,14835 и x₂ ≈ -12,51835, мы можем разбить числовую ось на интервалы:

• (-∞, -12,51835)
• (-12,51835, -0,14835)
• (-0,14835, +∞)

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство:

• Для интервала (-∞, -12,51835), например, x = -13:

(-13)² + 12,6667 * (-13) + 1,8333 = 169 - 165,6671 + 1,8333 > 0 (положительное)

• Для интервала (-12,51835, -0,14835), например, x = -1:

(-1)² + 12,6667 * (-1) + 1,8333 = 1 - 12,6667 + 1,8333 < 0 (отрицательное)

• Для интервала (-0,14835, +∞), например, x = 1:

(1)² + 12,6667 * (1) + 1,8333 = 1 + 12,6667 + 1,8333 > 0 (положительное)

На основе проверки знаков, мы можем заключить, что неравенство выполняется в интервалах:

• (-∞, -12,51835) и (-0,14835, +∞)

Таким образом, решение неравенства 0,75x² + 9,5x + 1,375 > 0:

x ∈ (-∞, -12,51835) ∪ (-0,14835, +∞)