Решите, пожалуйста, задачу по геометрии!

В основании правильной четырёхугольной призмы находится квадрат со стороной а = 6 см. Диагональ призмы образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Какова площадь полной поверхности призмы и её объём?

Математика 10 класс Геометрия математика задача по геометрии правильная призма квадрат площадь поверхности объём призмы угол 60 градусов диагональ призмы сторона а 6 см Новый

Для решения задачи о правильной четырёхугольной призме, давайте сначала разберёмся с её параметрами и формулами.

1. Определение параметров призмы:

• Сторона основания квадрата (a) = 6 см.
• Угол между диагональю призмы и плоскостью основания = 60 градусов.

2. Вычисление высоты призмы:

Для нахождения высоты призмы (h) воспользуемся свойствами треугольника, образованного высотой, диагональю основания и диагональю призмы. Диагональ квадрата рассчитывается по формуле:

Диагональ квадрата = a * √2 = 6 * √2 см.

Теперь, зная угол в 60 градусов, мы можем использовать тригонометрию. В треугольнике, образованном высотой и диагональю, мы можем использовать функцию синуса:

sin(60°) = h / (a * √2).

Следовательно:

h = (a * √2) * sin(60°) = (6 * √2) * (√3 / 2) = 3√6 см.

3. Вычисление объёма призмы:

Объём (V) правильной призмы вычисляется по формуле:

V = Sосн * h,

где Sосн - площадь основания. Площадь основания квадрата рассчитывается как:

Sосн = a² = 6² = 36 см².

Теперь подставим значения в формулу для объёма:

V = 36 * 3√6 = 108√6 см³.

4. Вычисление площади полной поверхности призмы:

Площадь полной поверхности (S) призмы вычисляется по формуле:

S = 2 * Sосн + P * h,

где P - периметр основания.

Периметр квадрата рассчитывается как:

P = 4 * a = 4 * 6 = 24 см.

Теперь подставим значения в формулу для площади полной поверхности:

S = 2 * 36 + 24 * 3√6.

Это упрощается до:

S = 72 + 72√6 см².

5. Ответ:

• Объём призмы: V = 108√6 см³.
• Площадь полной поверхности призмы: S = 72 + 72√6 см².

Таким образом, мы нашли необходимые параметры правильной четырёхугольной призмы!