Сколько натуральных чисел n существует, для которых старший делитель в 18 раз больше младшего делителя?

Математика 10 класс Делимость и делители натуральных чисел натуральные числа старший делитель младший делитель делители математика 10 класс задача на делители количество чисел Делимость решение задачи математическая задача Новый

Для решения задачи давайте сначала определим, что такое старший и младший делители числа n. Пусть d1 и d2 - делители числа n, где d1 - младший делитель, а d2 - старший делитель. Условие задачи говорит нам, что d2 = 18 * d1.

Теперь мы можем выразить n через делители:

n = d1 * d2

Подставим d2 в это уравнение:

n = d1 * (18 * d1) = 18 * d1^2

Таким образом, n должно быть кратно 18. Теперь нам нужно найти такие натуральные числа d1, чтобы d1 был делителем числа n.

Для этого запишем n в виде:

n = 18 * k^2

где k - натуральное число. Теперь мы должны найти возможные значения k, чтобы n оставалось натуральным числом.

Теперь давайте рассмотрим делители числа n:

• n = 18 * k^2
• Делители числа n можно получить из делителей 18 и k^2.

Делители числа 18:

• 1, 2, 3, 6, 9, 18

Теперь, чтобы d1 и d2 были делителями n, d1 должен быть делителем 18 * k^2. Поскольку d2 = 18 * d1, то d1 может принимать значения, которые при умножении на 18 остаются в рамках делителей n.

Теперь попробуем найти все возможные k, чтобы d1 оставался делителем 18:

• Если d1 = 1, то d2 = 18 * 1 = 18
• Если d1 = 2, то d2 = 18 * 2 = 36
• Если d1 = 3, то d2 = 18 * 3 = 54
• Если d1 = 6, то d2 = 18 * 6 = 108
• Если d1 = 9, то d2 = 18 * 9 = 162
• Если d1 = 18, то d2 = 18 * 18 = 324

Таким образом, возможные значения d1: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Теперь мы видим, что для каждого d1 существует соответствующий d2, и оба являются делителями n.

Следовательно, мы нашли 6 возможных значений для d1, что дает нам:

Ответ: 6 натуральных чисел n, для которых старший делитель в 18 раз больше младшего делителя.