Точка K находится на расстоянии 4 см от плоскости α. Наклонные KA и KB образуют с плоскостью α углы 45° и 30° соответственно, а угол между наклонными равен 135°. Какое расстояние между точками A и B?

Математика 10 класс Геометрия расстояние между точками A и B плоскость α угол между наклонными наклонные KA и KB геометрия задачи по математике Новый

Чтобы найти расстояние между точками A и B, нам нужно рассмотреть треугольник, образованный точками K, A и B, а также плоскостью α.

Шаг 1: Определим координаты точки K

Пусть точка K находится в начале координат, то есть K(0, 0, 0). Плоскость α будет находиться на расстоянии 4 см по оси Z, то есть Z = 4 см.

Шаг 2: Найдем координаты точек A и B

• Для точки A, которая образует угол 45° с плоскостью α:
• Угол 45° означает, что наклон KA образует равные углы с горизонтальной и вертикальной плоскостями.
• Расстояние от K до плоскости α по вертикали равно 4 см, а по наклонной KA - это гипотенуза.
• Согласно тригонометрии, если угол 45°, то длина наклонной KA равна 4 см / sin(45°) = 4 см / (sqrt(2)/2) = 4√2 см.
• Координаты точки A можно определить как A(4√2 * cos(45°), 4√2 * sin(45°), 4) = (4, 4, 4).
• Для точки B, которая образует угол 30° с плоскостью α:
• Аналогично, расстояние от K до плоскости α по вертикали равно 4 см, а длина наклонной KB равна 4 см / sin(30°) = 4 см / 0.5 = 8 см.
• Координаты точки B можно определить как B(8 * cos(30°), 8 * sin(30°), 4) = (8 * (sqrt(3)/2), 8 * 0.5, 4) = (4√3, 4, 4).

Шаг 3: Найдем расстояние между точками A и B

Теперь, когда у нас есть координаты точек A и B:

• A(4, 4, 4)
• B(4√3, 4, 4)

Расстояние между двумя точками в пространстве можно найти по формуле:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

В нашем случае, z2 и z1 равны, поэтому z-компонента не влияет на расстояние:

d = √((4√3 - 4)² + (4 - 4)²) = √((4√3 - 4)²) = |4√3 - 4|

Шаг 4: Упростим выражение

Теперь упростим это выражение:

|4√3 - 4| = 4|√3 - 1|.

Шаг 5: Найдем численное значение

Приблизительно, √3 ≈ 1.732, значит:

|√3 - 1| ≈ |1.732 - 1| ≈ 0.732.

Следовательно, расстояние d ≈ 4 * 0.732 ≈ 2.928 см.

Ответ: Расстояние между точками A и B примерно равно 2.93 см.