Три окружности с центрами О1, О2 и О3 и радиусами 3, 1 и 4 соответственно касаются друг друга внешним образом. Какой угол образуется между линиями, соединяющими центры этих окружностей (угол O1O2O3)?

Математика 10 класс Геометрия угол между окружностями центры окружностей радиусы окружностей окружности касаются угол O1O2O3 Новый

Для решения задачи, давайте сначала разберемся с расположением окружностей и их центров. У нас есть три окружности с центрами O1, O2 и O3 и радиусами 3, 1 и 4 соответственно. Они касаются друг друга внешним образом.

Поскольку окружности касаются друг друга, расстояния между их центрами можно определить следующим образом:

• Расстояние между центрами O1 и O2 равно радиус O1 плюс радиус O2: 3 + 1 = 4.
• Расстояние между центрами O2 и O3 равно радиус O2 плюс радиус O3: 1 + 4 = 5.
• Расстояние между центрами O1 и O3 равно радиус O1 плюс радиус O3: 3 + 4 = 7.

Теперь мы можем обозначить эти расстояния как:

• d12 = O1O2 = 4
• d23 = O2O3 = 5
• d13 = O1O3 = 7

Теперь, чтобы найти угол O1O2O3, мы можем использовать закон косинусов, который гласит:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

Где:

• c - сторона, противоположная углу C (в нашем случае это d23 = O2O3 = 5).
• a - одна из сторон (в нашем случае это d12 = O1O2 = 4).
• b - другая сторона (в нашем случае это d13 = O1O3 = 7).

Подставим известные значения в формулу:

5^2 = 4^2 + 7^2 - 2 * 4 * 7 * cos(O1O2O3)

Теперь вычислим каждую часть:

• 5^2 = 25
• 4^2 = 16
• 7^2 = 49

Теперь подставим эти значения в уравнение:

25 = 16 + 49 - 2 * 4 * 7 * cos(O1O2O3)

Сложим 16 и 49:

25 = 65 - 56 * cos(O1O2O3)

Переносим 65 на другую сторону:

25 - 65 = -56 * cos(O1O2O3)

-40 = -56 * cos(O1O2O3)

Теперь делим обе стороны на -56:

cos(O1O2O3) = 40 / 56 = 5 / 7

Теперь, чтобы найти угол O1O2O3, мы воспользуемся арккосинусом:

O1O2O3 = arccos(5/7)

Таким образом, угол O1O2O3 можно найти, используя калькулятор:

O1O2O3 ≈ 44.42 градусов

Итак, угол, образуемый линиями, соединяющими центры окружностей, составляет примерно 44.42 градуса.