В цилиндре, который расположен параллельно оси, проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу 120 градусов. Длина оси цилиндра равна 5, а расстояние от неё до секущей плоскости составляет 2. Какова площадь сечения, объем и площадь всей поверхности цилиндра?

Математика 10 класс Цилиндры цylinder area cylinder volume surface area of cylinder mathematics problem geometry question section area calculation cylinder properties Новый

Давайте разберемся с задачей поэтапно. Мы имеем цилиндр с длиной оси 5 и расстоянием от оси до секущей плоскости, равным 2. Также нам известно, что секущая плоскость отсекает дугу 120 градусов от окружности основания цилиндра.

Шаг 1: Определение радиуса цилиндра

Сначала нам нужно найти радиус основания цилиндра. Поскольку расстояние от оси до секущей плоскости равно 2, это и есть радиус основания цилиндра. Таким образом:

• Радиус (r) = 2

Шаг 2: Площадь сечения

Площадь сечения, которое образуется при пересечении цилиндра с плоскостью, можно найти, используя формулу для площади сектора окружности. Площадь сектора (S) определяется по формуле:

S = (α / 360) * π * r²,

где α - угол сектора в градусах, r - радиус.

В нашем случае α = 120 градусов и r = 2:

• S = (120 / 360) * π * (2)²
• S = (1/3) * π * 4
• S = (4/3) * π

Таким образом, площадь сечения равна (4/3) * π.

Шаг 3: Объем цилиндра

Объем (V) цилиндра можно найти по формуле:

V = π * r² * h,

где h - высота цилиндра (длина оси), r - радиус.

В нашем случае h = 5 и r = 2:

• V = π * (2)² * 5
• V = π * 4 * 5
• V = 20π

Таким образом, объем цилиндра равен 20π.

Шаг 4: Площадь всей поверхности цилиндра

Площадь всей поверхности (A) цилиндра можно найти по формуле:

A = 2 * π * r * h + 2 * π * r²,

где первый член - это площадь боковой поверхности, а второй - площадь двух оснований.

Подставим известные значения:

• A = 2 * π * 2 * 5 + 2 * π * (2)²
• A = 20π + 8π
• A = 28π

Таким образом, площадь всей поверхности цилиндра равна 28π.

Итак, подведем итог:

• Площадь сечения = (4/3) * π
• Объем цилиндра = 20π
• Площадь всей поверхности цилиндра = 28π