В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 находится ромб ABCD со стороной 5 см и углом А, равным 60 градусов. Диагональ BD образует с плоскостью основания призмы угол в 75 градусов. Какова площадь боковой поверхности призмы?

Математика 10 класс Геометрия площадь боковой поверхности призмы прямой призмы ромб ABCD угол 60 градусов диагональ BD математика геометрия задачи по геометрии Новый

Для нахождения площади боковой поверхности прямой призмы, нам необходимо сначала найти высоту призмы и периметр основания. Боковая поверхность призмы состоит из четырех прямоугольников, каждый из которых имеет одну сторону равной высоте призмы, а другую сторону равной стороне основания.

Шаг 1: Найдем периметр основания (ромба ABCD).

• Ромб имеет четыре равные стороны, и в нашем случае длина каждой стороны равна 5 см.
• Периметр P ромба равен: P = 4 * сторона = 4 * 5 = 20 см.

Шаг 2: Найдем высоту призмы.

• Диагональ BD образует угол 75 градусов с плоскостью основания. Это означает, что высота призмы h и диагональ BD образуют прямоугольный треугольник.
• Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты. В этом треугольнике:
• sin(угол) = противолежащий катет / гипотенуза.
• В нашем случае: sin(75 градусов) = h / BD.

Шаг 3: Найдем длину диагонали BD.

• Чтобы найти длину диагонали BD, воспользуемся формулой для диагонали ромба:
• BD = sqrt(AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos(угол A)).
• Поскольку AB = AD = 5 см и угол A = 60 градусов, то:
• BD = sqrt(5^2 + 5^2 - 2 * 5 * 5 * cos(60 градусов)) = sqrt(25 + 25 - 25) = sqrt(25) = 5 см.

Шаг 4: Найдем высоту призмы h.

• Теперь, зная, что BD = 5 см, подставим в уравнение:
• sin(75 градусов) = h / 5.
• Отсюда h = 5 * sin(75 градусов).
• Значение sin(75 градусов) примерно равно 0.9659, тогда:
• h ≈ 5 * 0.9659 ≈ 4.8295 см.

Шаг 5: Найдем площадь боковой поверхности призмы.

• Площадь боковой поверхности S боковой = периметр основания * высота призмы.
• Подставим значения: S = 20 см * 4.8295 см ≈ 96.59 см².

Ответ: Площадь боковой поверхности призмы составляет примерно 96.59 см².