Чтобы найти длину отрезка BC в правильной треугольной пирамиде SABC, нам нужно использовать данные, которые у нас есть, и применить некоторые свойства правильной пирамиды.

Шаг 1: Определим высоту пирамиды.

Поскольку P является серединой ребра AB, то отрезок SP является высотой пирамиды, проведенной из вершины S к основанию ABC. Длина отрезка SP равна 4, следовательно, высота пирамиды h = SP = 4.

Шаг 2: Найдем площадь основания ABC.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площадей боковых треугольников. В правильной треугольной пирамиде SABC боковая поверхность состоит из трех равных треугольников, каждый из которых имеет общую высоту h и основание, равное стороне основания треугольника ABC.

Пусть a - длина стороны основания ABC. Тогда площадь одного бокового треугольника равна:

Площадь = (1/2) * a * h

Так как боковая поверхность состоит из трех таких треугольников, общая площадь боковой поверхности будет равна:

Площадь боковой поверхности = 3 * (1/2) * a * h = (3/2) * a * h.

У нас есть значение площади боковой поверхности, равное 24:

(3/2) * a * 4 = 24.

Шаг 3: Решим уравнение для a.

1. Упростим уравнение: (3/2) * a * 4 = 24.
2. Умножим обе стороны на 2: 3 * a * 4 = 48.
3. Разделим обе стороны на 12: a = 48 / 12 = 4.

Таким образом, длина стороны основания ABC равна 4.

Шаг 4: Найдем длину отрезка BC.

В правильном треугольнике ABC все стороны равны, следовательно, длина отрезка BC также равна a, то есть:

Длина отрезка BC = 4.

Ответ: Длина отрезка BC равна 4.