Для нахождения объёма правильной треугольной пирамиды необходимо использовать следующую формулу:

V = (1/3) * S * h

где:

• V - объём пирамиды;
• S - площадь основания;
• h - высота пирамиды.

В данной задаче основание пирамиды представляет собой равносторонний треугольник со стороной a = 4√3.

1. Найдём площадь основания (S).

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

S = (√3 / 4) * a²

Подставим значение стороны:

S = (√3 / 4) * (4√3)²

S = (√3 / 4) * (16 * 3) = (√3 / 4) * 48 = 12√3

2. Теперь найдём высоту пирамиды (h).

Для этого воспользуемся свойствами правильной треугольной пирамиды. Высота пирамиды проходит через центр основания и вершину пирамиды. Центр основания равностороннего треугольника находится на расстоянии h₁ от любой из его вершин, где h₁ - высота равностороннего треугольника.

Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

h₁ = (√3 / 2) * a

Подставим значение стороны:

h₁ = (√3 / 2) * 4√3 = 6

Теперь, зная длину бокового ребра l = √43, можем найти высоту пирамиды h, используя теорему Пифагора:

l² = h² + h₁²

Подставим известные значения:

(√43)² = h² + 6²

43 = h² + 36

h² = 43 - 36 = 7

h = √7

3. Теперь можем найти объём пирамиды (V).

V = (1/3) * S * h

V = (1/3) * 12√3 * √7

V = 4√21

Таким образом, объём правильной треугольной пирамиды составляет 4√21 кубических единиц.