Чтобы найти объём правильной треугольной пирамиды, нам нужно использовать формулу:

V = (1/3) * S * h

где V — объём пирамиды, S — площадь основания, h — высота пирамиды.

1. **Найдем площадь основания S.**

Основание пирамиды является правильным треугольником со стороной a = 4√3. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:

S = (a² * √3) / 4

Подставим значение a:

S = ((4√3)² * √3) / 4

S = (16 * 3 * √3) / 4

S = (48√3) / 4

S = 12√3

Таким образом, площадь основания S равна 12√3.

2. **Теперь найдем высоту h пирамиды.**

Для этого воспользуемся свойствами правильной треугольной пирамиды. Высота h делит боковое ребро на две части, и образует прямоугольный треугольник, где:

• одна катета — это высота h,
• второй катет — это радиус описанной окружности треугольника (R),
• гипотенуза — это боковое ребро, равное √43.

Радиус описанной окружности правильного треугольника можно найти по формуле:

R = (a * √3) / 3

Подставим значение a:

R = (4√3 * √3) / 3

R = (4 * 3) / 3

R = 4

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с одним катетом h, вторым катетом R = 4 и гипотенузой √43. Используем теорему Пифагора:

h² + R² = (√43)²

h² + 4² = 43

h² + 16 = 43

h² = 43 - 16

h² = 27

h = √27 = 3√3

3. **Теперь можем найти объём V.**

Подставим S и h в формулу для объёма:

V = (1/3) * S * h

V = (1/3) * (12√3) * (3√3)

V = (1/3) * 36 * 3

V = 36

Таким образом, объём правильной треугольной пирамиды равен 36.