В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4√3, а длина бокового ребра равна √43. Какой объём имеет эта пирамида?

Математика 10 класс Объём правильной треугольной пирамиды правильная треугольная пирамида объём пирамиды сторона основания длина бокового ребра задача по математике Новый

Чтобы найти объём правильной треугольной пирамиды, нам нужно использовать формулу:

V = (1/3) * S * h

где V — объём пирамиды, S — площадь основания, h — высота пирамиды.

1. **Найдем площадь основания S.**

Основание пирамиды является правильным треугольником со стороной a = 4√3. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:

S = (a² * √3) / 4

Подставим значение a:

S = ((4√3)² * √3) / 4

S = (16 * 3 * √3) / 4

S = (48√3) / 4

S = 12√3

Таким образом, площадь основания S равна 12√3.

2. **Теперь найдем высоту h пирамиды.**

Для этого воспользуемся свойствами правильной треугольной пирамиды. Высота h делит боковое ребро на две части, и образует прямоугольный треугольник, где:

• одна катета — это высота h,
• второй катет — это радиус описанной окружности треугольника (R),
• гипотенуза — это боковое ребро, равное √43.

Радиус описанной окружности правильного треугольника можно найти по формуле:

R = (a * √3) / 3

Подставим значение a:

R = (4√3 * √3) / 3

R = (4 * 3) / 3

R = 4

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с одним катетом h, вторым катетом R = 4 и гипотенузой √43. Используем теорему Пифагора:

h² + R² = (√43)²

h² + 4² = 43

h² + 16 = 43

h² = 43 - 16

h² = 27

h = √27 = 3√3

3. **Теперь можем найти объём V.**

Подставим S и h в формулу для объёма:

V = (1/3) * S * h

V = (1/3) * (12√3) * (3√3)

V = (1/3) * 36 * 3

V = 36

Таким образом, объём правильной треугольной пирамиды равен 36.