В правильной треугольной призме АВСА1 В1С1, где все ребра равны 1, каким образом можно найти расстояние между прямыми ВВ1 и АС?

Математика 10 класс Геометрия расстояние между прямыми правильная треугольная призма математика 10 класс геометрия задачи по геометрии Новый

Чтобы найти расстояние между прямыми ВВ1 и АС в правильной треугольной призме, следуем следующим шагам:

1. Определяем положение вершин призмы:

• Вершины основания ABC можно расположить в координатах:
• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(0.5, sqrt(3)/2, 0)
• Вершины верхнего основания A1B1C1 будут на той же оси X и Y, но с координатой Z равной 1:
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(0.5, sqrt(3)/2, 1)

2. Записываем уравнения прямых:

• Прямая ВB1:
• Вектор направления: (0, 0, 1)
• Параметрическое уравнение: B(t) = (1, 0, 0) + t(0, 0, 1), где t - параметр.
• Прямая AC:
• Вектор направления: (0.5, sqrt(3)/2, 0)
• Параметрическое уравнение: A(s) = (0, 0, 0) + s(0.5, sqrt(3)/2, 0), где s - параметр.

3. Находим расстояние между прямыми:

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти, используя формулу:

d = |(P2 - P1) * n| / |n|,

где P1 и P2 - любые точки на прямых, n - вектор, перпендикулярный обеим прямым.

4. Находим вектор n:

• Векторы направления:
• v1 = (0, 0, 1) (для ВB1)
• v2 = (0.5, sqrt(3)/2, 0) (для AC)
• Вектор n = v1 x v2 (векторное произведение):
• n = (0, 0, 1) x (0.5, sqrt(3)/2, 0) = (-sqrt(3)/2, -0.25, 0)

5. Вычисляем расстояние:

• Выбираем точки P1 и P2:
• P1 = B(1, 0, 0)
• P2 = A(0, 0, 0)
• Вектор P2 - P1 = (0 - 1, 0 - 0, 0 - 0) = (-1, 0, 0)
• Теперь находим d:
• Скалярное произведение: |(P2 - P1) * n| = |(-1, 0, 0) * (-sqrt(3)/2, -0.25, 0)| = |-(-1 * -sqrt(3)/2)| = sqrt(3)/2
• Длина n: |n| = sqrt((-sqrt(3)/2)^2 + (-0.25)^2) = sqrt(3/4 + 1/16) = sqrt(13/16) = sqrt(13)/4
• Таким образом, расстояние d = (sqrt(3)/2) / (sqrt(13)/4) = (2 * sqrt(3)) / sqrt(13).

Таким образом, расстояние между прямыми ВB1 и AC равно (2 * sqrt(3)) / sqrt(13).