В прямоугольном параллелепипеде 1ABCDA1B1C1D1 даны длины рёбер: AB=4, BC=5 и AA1=12. Как найти градусную меру двугранного угла DD1C1B1?

Математика 10 класс Геометрия прямоугольный параллелепипед Двугранный угол градусная мера рёбра геометрия математика задачи по математике объем параллелепипеда угол между гранями расчет углов Новый

Чтобы найти градусную меру двугранного угла DD1C1B1 в прямоугольном параллелепипеде, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определение координат вершин

Сначала зададим координаты вершин параллелепипеда. Предположим, что точка A имеет координаты (0, 0, 0), тогда остальные вершины будут расположены следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(4, 0, 0)
• C(4, 5, 0)
• D(0, 5, 0)
• A1(0, 0, 12)
• B1(4, 0, 12)
• C1(4, 5, 12)
• D1(0, 5, 12)

Шаг 2: Определение векторов

Теперь найдем векторы, которые образуют угол DD1C1B1. Для этого определим векторы:

• Вектор v1 = D1D = D1 - D = (0, 5, 12) - (0, 5, 0) = (0, 0, 12)
• Вектор v2 = D1C1 = C1 - D1 = (4, 5, 12) - (0, 5, 12) = (4, 0, 0)
• Вектор v3 = C1B1 = B1 - C1 = (4, 0, 12) - (4, 5, 12) = (0, -5, 0)

Шаг 3: Нахождение угла между векторами

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами. Угол между векторами v1 и v2 можно найти по формуле:

cos(α) = (v1 • v2) / (|v1| * |v2|),

где • - скалярное произведение векторов, а |v| - длина вектора.

Шаг 4: Вычисление скалярного произведения

Сначала найдем скалярное произведение v1 и v2:

• v1 • v2 = (0, 0, 12) • (4, 0, 0) = 0 * 4 + 0 * 0 + 12 * 0 = 0

Шаг 5: Нахождение длин векторов

Теперь найдем длины векторов:

• |v1| = √(0^2 + 0^2 + 12^2) = √144 = 12
• |v2| = √(4^2 + 0^2 + 0^2) = √16 = 4

Шаг 6: Подставляем значения в формулу

Теперь подставим все найденные значения в формулу:

cos(α) = 0 / (12 * 4) = 0.

Шаг 7: Нахождение угла

Если cos(α) = 0, это значит, что угол α равен 90 градусам.

Ответ:

Градусная мера двугранного угла DD1C1B1 равна 90 градусов.