В прямоугольный треугольник, катеты которого равны 8 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Каков периметр этого прямоугольника?

Математика 10 класс Геометрия прямоугольный треугольник катеты 8 см вписанный прямоугольник периметр прямоугольника задача по математике Новый

Для решения данной задачи начнем с того, что представим прямоугольный треугольник, у которого катеты равны 8 см. Обозначим один катет как AB, а другой как AC, где угол A является прямым. Следовательно, длина гипотенузы BC может быть найдена по теореме Пифагора:

Шаг 1: Найдем длину гипотенузы.

По теореме Пифагора:

BC = √(AB² + AC²) = √(8² + 8²) = √(64 + 64) = √128 = 8√2 см.

Шаг 2: Определим размеры вписанного прямоугольника.

Вписанный прямоугольник будет иметь одну сторону, совпадающую с катетом AB, а другую сторону будет пересекать гипотенузу BC. Обозначим длину одной стороны прямоугольника как x, а другую сторону как y.

Так как угол A является общим, мы можем использовать свойства подобия треугольников. Прямоугольник будет делить наш треугольник на два меньших треугольника, которые будут подобны исходному треугольнику.

Шаг 3: Используем свойства подобия.

Так как треугольники подобны, мы можем записать пропорцию:

• AB / AC = x / y
• 8 / 8 = x / y

Из этой пропорции следует, что x = y. Обозначим x как длину одной стороны прямоугольника, тогда вторая сторона также будет равна x.

Шаг 4: Найдем периметр прямоугольника.

Периметр P прямоугольника рассчитывается по формуле:

P = 2 * (x + y) = 2 * (x + x) = 4x.

Шаг 5: Найдем значение x.

Для нахождения x, можно использовать свойства треугольника. Поскольку прямоугольник вписан, его максимальная ширина будет равна половине длины катета, то есть:

x = 8/2 = 4 см.

Шаг 6: Подставим значение x в формулу периметра.

P = 4 * 4 = 16 см.

Ответ: Периметр вписанного прямоугольника равен 16 см.