В задаче дан конус, у которого угол при вершине осевого сечения равен 120 градусов, а образующая составляет 6 см. Как можно найти высоту конуса и площадь его основания?

Математика 10 класс Геометрия конус угол при вершине осевое сечение образующая высота конуса площадь основания задачи по математике геометрия формулы решение задач Новый

Для решения задачи, давайте сначала разберемся с данными, которые у нас есть:

• Угол при вершине осевого сечения конуса равен 120 градусов.
• Образующая конуса (длина наклонной стороны) составляет 6 см.

Теперь мы можем найти высоту конуса и площадь его основания, следуя нескольким шагам.

Шаг 1: Найдем высоту конуса.

В осевом сечении конуса мы можем представить его как треугольник, где:

• Образующая конуса - это гипотенуза треугольника, равная 6 см.
• Угол при вершине (угол между образующей и высотой) равен половине угла при вершине осевого сечения, то есть 120 градусов / 2 = 60 градусов.
• Высота конуса - это одна из сторон треугольника, а радиус основания - другая сторона.

Используем тригонометрические функции. В данном случае нам нужна высота, которую мы можем найти через синус:

sin(60 градусов) = высота / образующая

Подставим известные значения:

sin(60 градусов) = √3 / 2

Тогда у нас получается уравнение:

√3 / 2 = высота / 6

Теперь умножим обе стороны на 6:

высота = 6 * (√3 / 2) = 3√3 см.

Шаг 2: Найдем радиус основания конуса.

Теперь, чтобы найти радиус основания, мы можем использовать косинус:

cos(60 градусов) = радиус / образующая

cos(60 градусов) = 1 / 2

Подставим известные значения:

1 / 2 = радиус / 6

Умножим обе стороны на 6:

радиус = 6 * (1 / 2) = 3 см.

Шаг 3: Найдем площадь основания конуса.

Теперь, когда мы знаем радиус основания, можем найти площадь основания конуса, используя формулу для площади круга:

Площадь = π * радиус^2

Подставим значение радиуса:

Площадь = π * (3 см)^2 = π * 9 см^2 ≈ 28.27 см^2 (если считать π ≈ 3.14).

Итак, итоговые результаты:

• Высота конуса составляет 3√3 см (или примерно 5.2 см).
• Площадь основания конуса составляет 28.27 см^2.