Вписанная в прямоугольный треугольник окружность, касаясь гипотенузы, делит её на отрезки длиной 5 см и 12 см. Как можно определить длину меньшего катета этого треугольника?

Математика 10 класс Геометрия вписанная окружность прямоугольный треугольник длина катета гипотенуза отрезки решение задачи математика 10 класс Новый

Для решения задачи, давайте вспомним некоторые свойства вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Вписанная окружность касается всех сторон треугольника, и если мы обозначим:

• a - длина одного катета,
• b - длина другого катета,
• c - длина гипотенузы,
• s - полупериметр треугольника, который равен (a + b + c) / 2.

В нашем случае гипотенуза делится на два отрезка: 5 см и 12 см. Это значит, что:

• первый отрезок (5 см) соответствует расстоянию от точки касания окружности до одного из катетов,
• второй отрезок (12 см) соответствует расстоянию от точки касания окружности до другого катета.

Теперь, если обозначить:

• x - длина меньшего катета (который мы ищем),
• y - длина большего катета.

Тогда, согласно свойствам окружности, мы можем записать следующее:

• x = 5,
• y = 12.

Согласно свойству, длина гипотенузы c равна сумме отрезков, на которые она делится окружностью:

c = 5 + 12 = 17 см.

Теперь мы можем найти полупериметр:

s = (x + y + c) / 2 = (x + y + 17) / 2.

По свойству вписанной окружности, длины отрезков, на которые гипотенуза делится, равны:

• с = x + 5 = y + 12.

Теперь мы можем выразить y:

y = c - 12 = 17 - 12 = 5 см.

Таким образом, мы имеем:

• x = 5 см,
• y = 12 см.

Следовательно, длина меньшего катета равна 5 см.

Ответ: Длина меньшего катета равна 5 см.