1) Какой путь пройдет материальная точка за первую секунду движения, если ее скорость задана формулой v(t)=12t^3+2t+4?

2) Какое ускорение будет у материальной точки в момент времени t=1, если закон ее движения представлен формулой x(t)=12t^3+2t+4?

Математика 11 класс Производные и движение материальной точки математическая физика движение материальной точки скорость и ускорение формулы движения задачи по математике анализ движения физика для 11 класса математика 11 класс кинематика решение задач по физике Новый

Для решения ваших вопросов, давайте разберем каждый из них по отдельности.

1) Какой путь пройдет материальная точка за первую секунду движения?

Чтобы найти путь, пройденный материальной точкой за первую секунду, нам нужно определить перемещение за время от t=0 до t=1. Мы можем сделать это, интегрируя скорость по времени.

1. Запишем функцию скорости: v(t) = 12t^3 + 2t + 4.
2. Теперь найдем перемещение S за время от 0 до 1, интегрируя скорость:
3. Интеграл от v(t) по времени будет:
4. S = ∫(12t^3 + 2t + 4) dt от 0 до 1.
5. Вычислим интеграл:
• ∫12t^3 dt = 3t^4,
• ∫2t dt = t^2,
• ∫4 dt = 4t.
6. Теперь подставим пределы интегрирования:
7. S = [3t^4 + t^2 + 4t] от 0 до 1 = (3*1^4 + 1^2 + 4*1) - (3*0^4 + 0^2 + 4*0).
8. Это будет равно: S = 3 + 1 + 4 = 8.

Таким образом, путь, пройденный материальной точкой за первую секунду, составляет 8 единиц.

2) Какое ускорение будет у материальной точки в момент времени t=1?

Ускорение - это производная скорости по времени. Чтобы найти ускорение, мы должны продифференцировать функцию скорости v(t).

1. Запишем функцию скорости: v(t) = 12t^3 + 2t + 4.
2. Найдем ускорение a(t):
3. a(t) = v'(t) = d/dt(12t^3 + 2t + 4).
4. Теперь найдем производные каждого члена:
• d/dt(12t^3) = 36t^2,
• d/dt(2t) = 2,
• d/dt(4) = 0.
5. Таким образом, a(t) = 36t^2 + 2.
6. Теперь подставим t=1:
7. a(1) = 36*1^2 + 2 = 36 + 2 = 38.

Таким образом, ускорение материальной точки в момент времени t=1 составляет 38 единиц.