Привет! Давай разберемся с этой задачей про куб. 1. **Определим координаты вершин куба:** - A(0, 0, 0) - B(1, 0, 0) - C(1, 1, 0) - D(0, 1, 0) - A1(0, 0, 1) - B1(1, 0, 1) - C1(1, 1, 1) - D1(0, 1, 1) 2. **Найдем координаты точек N и M:** - Для точки N на ребре B1C1: B1N:NC1 = 1:4, значит N делит отрезок B1C1 в отношении 1:4. Координаты N: N = (1, 1 * (1/5) + 0 * (4/5),1) = (1, 0.2, 1). - Для точки M на ребре C1D1: C1M:MD1 = 1:1, значит M делит отрезок C1D1 пополам. Координаты M: M = ((1 + 0)/2, (1 + 1)/2, 1) = (0.5, 1, 1). 3. **Найдем векторы BN и CM:** - Вектор BN = N - B = (1 - 1, 0.2 - 0, 1 - 0) = (0, 0.2, 1). - Вектор CM = M - C = (0.5 - 1, 1 - 1, 1 - 0) = (-0.5, 0, 1). 4. **Вычислим косинус угла α между векторами BN и CM:** Для этого используем формулу: cos(α) = (A · B) / (|A| * |B|),где A и B - наши векторы. - Скалярное произведение A · B = (0 * -0.5) + (0.2 * 0) + (1 * 1) = 1. - Длина |A| = sqrt(0^2 + 0.2^2 + 1^2) = sqrt(0 + 0.04 + 1) = sqrt(1.04). - Длина |B| = sqrt((-0.5)^2 + 0^2 + 1^2) = sqrt(0.25 + 0 + 1) = sqrt(1.25). Теперь подставляем в формулу: cos(α) = 1 / (sqrt(1.04) * sqrt(1.25)). 5. **Упрощаем:** cos(α) = 1 / (sqrt(1.3)). Таким образом, косинус угла α между прямыми BN и CM равен 1/sqrt(1.3). Надеюсь, это помогло! Если есть еще вопросы, спрашивай!

Давайте решим задачу шаг за шагом. У нас есть куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра 1. Сначала определим координаты всех вершин куба:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

Теперь определим координаты точек N и M на рёбрах B1C1 и C1D1 соответственно.

Сначала найдем координаты точки N. По условию, отношение B1N к NC1 равно 1:4. Это значит, что точка N делит отрезок B1C1 в отношении 1:4. Длина отрезка B1C1 равна 1 (так как длина ребра куба равна 1). Таким образом, длина отрезка B1N составит 1/5 от длины B1C1, а длина отрезка NC1 составит 4/5 от длины B1C1.

Координаты точки N можно вычислить следующим образом:

• x-координата: 1 + (1/5) * (1 - 1) = 1
• y-координата: 0 + (1/5) * (1 - 0) = 0 + 1/5 = 1/5
• z-координата: 1

Таким образом, N(1, 1/5, 1).

Теперь найдем координаты точки M. По условию, отношение C1M к MD1 равно 1:1. Это значит, что точка M делит отрезок C1D1 пополам. Поскольку длина отрезка C1D1 также равна 1, то M находится на середине отрезка C1D1.

Координаты точки M можно вычислить следующим образом:

• x-координата: 1 + (1/2) * (0 - 1) = 1 - 1/2 = 1/2
• y-координата: 1 + (1/2) * (1 - 1) = 1
• z-координата: 1

Таким образом, M(1/2, 1, 1).

Теперь у нас есть координаты точек N и M, а также мы можем найти векторы BN и CM.

Вектор BN можно найти, вычитая координаты точки N из координат точки B:

• BN = N - B = (1, 1/5, 1) - (1, 0, 0) = (0, 1/5, 1)

Вектор CM можно найти, вычитая координаты точки M из координат точки C:

• CM = M - C = (1/2, 1, 1) - (1, 1, 0) = (-1/2, 0, 1)

Теперь мы можем найти косинус угла α между векторами BN и CM. Для этого используем формулу:

cos(α) = (BN • CM) / (|BN| * |CM|),

где "•" обозначает скалярное произведение, а |BN| и |CM| - длины векторов BN и CM соответственно.

Сначала найдем скалярное произведение BN и CM:

• BN • CM = (0, 1/5, 1) • (-1/2, 0, 1) = 0 * (-1/2) + (1/5) * 0 + 1 * 1 = 1.

Теперь найдем длины векторов BN и CM:

• |BN| = √(0^2 + (1/5)^2 + 1^2) = √(0 + 1/25 + 1) = √(1 + 1/25) = √(26/25) = √26 / 5.
• |CM| = √((-1/2)^2 + 0^2 + 1^2) = √(1/4 + 0 + 1) = √(1 + 1/4) = √(5/4) = √5 / 2.

Теперь подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:

• cos(α) = 1 / (|BN| * |CM|) = 1 / ((√26 / 5) * (√5 / 2)) = 1 / (√130 / 10) = 10 / √130.

Таким образом, окончательный ответ: cos(α) = 10 / √130.