Дан куб ABCDA1B1C1D1. На рёбрах B1C1 и C1D1 соответственно находятся точки N и M так, что B1N:NC1=1:4; C1M:MD1=1:1. Каков косинус угла α между прямыми BN и CM, если длина ребра куба равна 1 единице измерения? Ответ: cosα= −−−−−−√.

Математика 11 класс Векторы и геометрия в пространстве математика 11 класс куб ABCDA1B1C1D1 угол между прямыми косинус угла задачи на геометрию координаты точек длина ребра куба пропорции отрезков

Привет! Давай разберемся с этой задачей про куб.

1. Определим координаты вершин куба:

   • A(0, 0, 0)
   • B(1, 0, 0)
   • C(1, 1, 0)
   • D(0, 1, 0)
   • A1(0, 0, 1)
   • B1(1, 0, 1)
   • C1(1, 1, 1)
   • D1(0, 1, 1)

2. Найдем координаты точек N и M:

   • Для точки N на ребре B1C1:
     B1N:NC1 = 1:4, значит N делит отрезок B1C1 в отношении 1:4.
     Координаты N:
     N = (1, 1 (1/5) + 0 (4/5), 1) = (1, 0.2, 1).

   • Для точки M на ребре C1D1:
     C1M:MD1 = 1:1, значит M делит отрезок C1D1 пополам.
     Координаты M:
     M = ((1 + 0)/2, (1 + 1)/2, 1) = (0.5, 1, 1).

3. Найдем векторы BN и CM:

   • Вектор BN = N - B = (1 - 1, 0.2 - 0, 1 - 0) = (0, 0.2, 1).
   • Вектор CM = M - C = (0.5 - 1, 1 - 1, 1 - 0) = (-0.5, 0, 1).

4. Вычислим косинус угла α между векторами BN и CM:
   Для этого используем формулу:
   cos(α) = (A · B) / (|A| * |B|), где A и B - наши векторы.

   • Скалярное произведение A · B = (0 -0.5) + (0.2 0) + (1 * 1) = 1.
   • Длина |A| = sqrt(0^2 + 0.2^2 + 1^2) = sqrt(0 + 0.04 + 1) = sqrt(1.04).
   • Длина |B| = sqrt((-0.5)^2 + 0^2 + 1^2) = sqrt(0.25 + 0 + 1) = sqrt(1.25).

   Теперь подставляем в формулу:
   cos(α) = 1 / (sqrt(1.04) * sqrt(1.25)).

5. Упрощаем:
   cos(α) = 1 / (sqrt(1.3)).

Таким образом, косинус угла α между прямыми BN и CM равен 1/sqrt(1.3).

Надеюсь, это помогло! Если есть еще вопросы, спрашивай!

Давайте решим задачу шаг за шагом. У нас есть куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра 1. Сначала определим координаты всех вершин куба:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

Теперь определим координаты точек N и M на рёбрах B1C1 и C1D1 соответственно.

Сначала найдем координаты точки N. По условию, отношение B1N к NC1 равно 1:4. Это значит, что точка N делит отрезок B1C1 в отношении 1:4. Длина отрезка B1C1 равна 1 (так как длина ребра куба равна 1). Таким образом, длина отрезка B1N составит 1/5 от длины B1C1, а длина отрезка NC1 составит 4/5 от длины B1C1.

Координаты точки N можно вычислить следующим образом:

• x-координата: 1 + (1/5) * (1 - 1) = 1
• y-координата: 0 + (1/5) * (1 - 0) = 0 + 1/5 = 1/5
• z-координата: 1

Таким образом, N(1, 1/5, 1).

Теперь найдем координаты точки M. По условию, отношение C1M к MD1 равно 1:1. Это значит, что точка M делит отрезок C1D1 пополам. Поскольку длина отрезка C1D1 также равна 1, то M находится на середине отрезка C1D1.

Координаты точки M можно вычислить следующим образом:

• x-координата: 1 + (1/2) * (0 - 1) = 1 - 1/2 = 1/2
• y-координата: 1 + (1/2) * (1 - 1) = 1
• z-координата: 1

Таким образом, M(1/2, 1, 1).

Теперь у нас есть координаты точек N и M, а также мы можем найти векторы BN и CM.

Вектор BN можно найти, вычитая координаты точки N из координат точки B:

• BN = N - B = (1, 1/5, 1) - (1, 0, 0) = (0, 1/5, 1)

Вектор CM можно найти, вычитая координаты точки M из координат точки C:

• CM = M - C = (1/2, 1, 1) - (1, 1, 0) = (-1/2, 0, 1)

Теперь мы можем найти косинус угла α между векторами BN и CM. Для этого используем формулу:

cos(α) = (BN • CM) / (|BN| * |CM|),

где "•" обозначает скалярное произведение, а |BN| и |CM| - длины векторов BN и CM соответственно.

Сначала найдем скалярное произведение BN и CM:

• BN • CM = (0, 1/5, 1) • (-1/2, 0, 1) = 0 * (-1/2) + (1/5) * 0 + 1 * 1 = 1.

Теперь найдем длины векторов BN и CM:

• |BN| = √(0^2 + (1/5)^2 + 1^2) = √(0 + 1/25 + 1) = √(1 + 1/25) = √(26/25) = √26 / 5.
• |CM| = √((-1/2)^2 + 0^2 + 1^2) = √(1/4 + 0 + 1) = √(1 + 1/4) = √(5/4) = √5 / 2.

Теперь подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:

• cos(α) = 1 / (|BN| * |CM|) = 1 / ((√26 / 5) * (√5 / 2)) = 1 / (√130 / 10) = 10 / √130.

Таким образом, окончательный ответ: cos(α) = 10 / √130.