Даны четыре точки A1 (3, 5, 4), A2 (8, 7, 4), A3 (5, 10, 4) и A4 (4, 7, 8). Как можно решить следующую задачу:

1. Составить уравнение:
• прямой A3N, параллельной прямой A1, A2;
• плоскости, проходящей через точку A4 перпендикулярно к прямой A1 A2.
2. Вычислить:
• синус угла между прямой A1, A4 и плоскостью A1, A2, A3.

Математика 11 класс Геометрия в пространстве уравнение прямой уравнение плоскости синус угла координаты точек математика 11 класс геометрия векторы задачи на плоскости задачи на углы параллельные прямые перпендикулярные прямые Новый

Давайте разберем задачу по шагам и решим ее. Начнем с того, что у нас есть четыре точки в трехмерном пространстве: A1 (3, 5, 4), A2 (8, 7, 4), A3 (5, 10, 4) и A4 (4, 7, 8).

1. Составим уравнение прямой A3N, параллельной прямой A1A2.

Сначала найдем вектор направления прямой A1A2. Для этого вычтем координаты точки A1 из координат точки A2:

• Вектор A1A2 = A2 - A1 = (8 - 3, 7 - 5, 4 - 4) = (5, 2, 0).

Теперь у нас есть вектор направления прямой A1A2, который равен (5, 2, 0). Прямая A3N, которая параллельна A1A2, будет иметь тот же вектор направления. Поскольку прямая A3N проходит через точку A3 (5, 10, 4), уравнение прямой можно записать в параметрической форме:

• x = 5 + 5t,
• y = 10 + 2t,
• z = 4 + 0t.

где t - параметр.

2. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку A4 перпендикулярно к прямой A1A2.

Чтобы найти уравнение плоскости, нам необходимо знать нормальный вектор этой плоскости. Нормальный вектор будет совпадать с вектором направления прямой A1A2, который мы уже нашли: (5, 2, 0).

Уравнение плоскости можно записать в виде:

• 5(x - x0) + 2(y - y0) + 0(z - z0) = 0,

где (x0, y0, z0) - координаты точки A4 (4, 7, 8). Подставим эти значения:

• 5(x - 4) + 2(y - 7) = 0.

Раскроем скобки:

• 5x - 20 + 2y - 14 = 0,

Упростим уравнение:

• 5x + 2y - 34 = 0.

3. Вычислим синус угла между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3.

Сначала найдем вектор A1A4:

• Вектор A1A4 = A4 - A1 = (4 - 3, 7 - 5, 8 - 4) = (1, 2, 4).

Теперь найдем нормальный вектор плоскости A1A2A3. Для этого нам нужно найти два вектора, лежащих в плоскости. Мы можем использовать векторы A1A2 и A1A3:

• Вектор A1A3 = A3 - A1 = (5 - 3, 10 - 5, 4 - 4) = (2, 5, 0).

Теперь найдем нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение A1A2 и A1A3:

• n = A1A2 x A1A3 = |i j k|
• |5 2 0|
• |2 5 0|

Вычисляем определитель:

• n = (0 * 5 - 0 * 2)i - (0 * 2 - 0 * 5)j + (5 * 5 - 2 * 2)k = 0i - 0j + (25 - 4)k = 21k.

Таким образом, нормальный вектор плоскости n = (0, 0, 21).

Теперь можем найти угол между вектором A1A4 и нормальным вектором плоскости. Синус угла между вектором и плоскостью можно найти по формуле:

• sin(α) = |A1A4 . n| / (|A1A4| * |n|),

где " . " обозначает скалярное произведение. Сначала найдем скалярное произведение:

• A1A4 . n = (1, 2, 4) . (0, 0, 21) = 0 + 0 + 84 = 84.

Теперь найдем длины векторов:

• |A1A4| = sqrt(1^2 + 2^2 + 4^2) = sqrt(1 + 4 + 16) = sqrt(21),
• |n| = sqrt(0^2 + 0^2 + 21^2) = 21.

Теперь подставим все в формулу:

• sin(α) = |84| / (sqrt(21) * 21) = 84 / (21 * sqrt(21)) = 4 / sqrt(21).

Таким образом, мы нашли синус угла между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3.

В итоге, мы составили уравнение прямой A3N, уравнение плоскости и вычислили синус угла между прямой и плоскостью. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!