Для решения задачи о расстоянии между прямыми AB1 и BC в кубе ABCDA1B1C1D1, необходимо сначала определить координаты вершин куба и затем использовать формулы для нахождения расстояния между двумя прямыми.

Шаг 1: Определение координат вершин куба

Пусть куб расположен в трехмерной координатной системе следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(2√2, 0, 0)
• C(2√2, 2√2, 0)
• D(0, 2√2, 0)
• A1(0, 0, 2√2)
• B1(2√2, 0, 2√2)
• C1(2√2, 2√2, 2√2)
• D1(0, 2√2, 2√2)

Шаг 2: Определение уравнений прямых AB1 и BC

Теперь найдем уравнения прямых AB1 и BC:

• Прямая AB1 проходит через точки A(0, 0, 0) и B1(2√2, 0, 2√2).
• Прямая BC проходит через точки B(2√2, 0, 0) и C(2√2, 2√2, 0).

Шаг 3: Параметрические уравнения прямых

• Для прямой AB1:
  • x = 0 + t(2√2 - 0) = 2√2t
  • y = 0 + t(0 - 0) = 0
  • z = 0 + t(2√2 - 0) = 2√2t
• Для прямой BC:
  • x = 2√2
  • y = 0 + s(2√2 - 0) = 2√2s
  • z = 0

Шаг 4: Нахождение расстояния между прямыми

Расстояние между двумя прямыми в пространстве можно найти с помощью формулы:

D = |(P1 - P2) • (d1 × d2)| / |d1 × d2|, где:

• P1 и P2 - любые точки на прямых (например, A и B),
• d1 и d2 - направляющие векторы прямых.

Направляющие векторы:

• d1 = (2√2, 0, 2√2) - (0, 0, 0) = (2√2, 0, 2√2)
• d2 = (2√2, 2√2, 0) - (2√2, 0, 0) = (0, 2√2, 0)

Теперь найдем вектор P1 - P2:

P1 = A(0, 0, 0), P2 = B(2√2, 0, 0) => P1 - P2 = (0 - 2√2, 0 - 0, 0 - 0) = (-2√2, 0, 0).

Теперь вычислим векторное произведение d1 × d2:

d1 × d2 = |i j k|

|2√2 0 2√2|

|0 2√2 0|

= (0*0 - 2√2*2√2)i - (2√2*0 - 0*2√2)j + (2√2*2√2 - 0*0)k

= -8j + 4√2k = (0, -8, 4√2).

Теперь найдем длину этого вектора:

|d1 × d2| = √(0^2 + (-8)^2 + (4√2)^2) = √(64 + 32) = √96 = 4√6.

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

D = |(-2√2, 0, 0) • (0, -8, 4√2)| / |(0, -8, 4√2)|.

Сначала найдем скалярное произведение:

(-2√2, 0, 0) • (0, -8, 4√2) = 0 + 0 + 0 = 0.

Таким образом, расстояние D = 0 / 4√6 = 0.

Заключение:

Расстояние между прямыми AB1 и BC равно 0, что означает, что эти прямые пересекаются.