Докажите, что уравнение 2x в шестой степени + x в четвертой степени + x в квадрате + 1 = 0 не имеет действительных корней.

Математика 11 класс Уравнения и неравенства уравнение доказательство действительные корни математика алгебра полином корни уравнения математический анализ Новый

Для доказательства того, что уравнение 2x^6 + x^4 + x^2 + 1 = 0 не имеет действительных корней, мы можем воспользоваться методом анализа знаков и свойствами многочлена.

Рассмотрим многочлен f(x) = 2x^6 + x^4 + x^2 + 1. Мы видим, что все его члены имеют четные степени, что означает, что f(x) является четной функцией. Это значит, что f(x) = f(-x) для любого x.

Теперь давайте проанализируем каждое слагаемое в этом уравнении:

• 2x^6: Это слагаемое всегда неотрицательно для любых действительных x, так как x^6 >= 0.
• x^4: Это слагаемое также всегда неотрицательно для любых действительных x, так как x^4 >= 0.
• x^2: Это слагаемое также всегда неотрицательно для любых действительных x, так как x^2 >= 0.
• 1: Это слагаемое всегда положительно.

Теперь сложим все эти слагаемые:

f(x) = 2x^6 + x^4 + x^2 + 1 >= 0 + 0 + 0 + 1 = 1.

Таким образом, мы видим, что для всех действительных x значение функции f(x) всегда больше или равно 1. Это означает, что f(x) никогда не может равняться нулю.

Следовательно, уравнение 2x^6 + x^4 + x^2 + 1 = 0 не имеет действительных корней, так как значение функции всегда положительно и не может достигать нуля.

Таким образом, мы доказали, что уравнение не имеет действительных корней.