Давайте разберем каждый пункт задачи по порядку.

1. Длина отрезка |AB|:

   Чтобы найти длину отрезка AB, используем формулу для расчета расстояния между двумя точками в пространстве:

   AB = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)

   Подставим координаты точек A(7;0;1) и B(0;1;6):

   AB = √((0-7)² + (1-0)² + (6-1)²) = √(49 + 1 + 25) = √75 = 5√3

2. Угол между векторами AB и AC:

   Сначала найдем векторы AB и AC:

   • AB = (0-7; 1-0; 6-1) = (-7; 1; 5)
   • AC = (8-7; 1-0; 5-1) = (1; 1; 4)

   Используем формулу косинуса угла между векторами:

   cos(θ) = (AB • AC) / (|AB| * |AC|)

   Сначала найдем скалярное произведение AB • AC:

   AB • AC = (-7)*1 + 1*1 + 5*4 = -7 + 1 + 20 = 14

   Теперь найдем длины векторов:

   • |AB| = √75 = 5√3
   • |AC| = √((1)² + (1)² + (4)²) = √18 = 3√2

   Подставим значения в формулу:

   cos(θ) = 14 / (5√3 * 3√2) = 14 / (15√6)

   θ = arccos(14 / (15√6))

   Это значение можно посчитать с помощью калькулятора.

3. Плоскости, проходящие через AB и AC:

   Для нахождения плоскости через две прямые можно использовать векторное произведение для нахождения нормального вектора к плоскости.

   Векторное произведение AB x AC:

   • AB x AC = |i j k|
   • |-7 1 5|
   • | 1 1 4|

   AB x AC = (1*4 - 5*1)i - (-7*4 - 5*1)j + (-7*1 - 1*1)k = (4 - 5)i + (28 + 5)j + (-7 - 1)k = -1i + 33j - 8k

   Таким образом, уравнение плоскости будет иметь вид:

   -x + 33y - 8z = D

   Чтобы найти D, подставим координаты одной из точек, например, A(7;0;1):

   -7 + 33*0 - 8*1 = D => D = -15

   Уравнение плоскости: -x + 33y - 8z = -15

4. Площадь треугольника ABC:

   Площадь треугольника можно найти через векторное произведение:

   Площадь = 0.5 * |AB x AC|

   Мы уже нашли векторное произведение AB x AC = (-1; 33; -8)

   |AB x AC| = √((-1)² + 33² + (-8)²) = √(1 + 1089 + 64) = √1154

   Площадь = 0.5 * √1154

5. Уравнение плоскости ABC:

   Мы уже нашли уравнение плоскости ABC в предыдущем пункте:

   -x + 33y - 8z = -15

6. Уравнение линии AD:

   Линия AD проходит через точки A(7;0;1) и D(4;0;1). Найдем параметрическое уравнение:

   Вектор AD = (4-7; 0-0; 1-1) = (-3; 0; 0)

   Параметрическое уравнение линии AD:

   x = 7 - 3t, y = 0, z = 1

7. Угол между линией AD и плоскостью ABC:

   Угол между линией и плоскостью можно найти через угол между направляющим вектором линии и нормальным вектором плоскости.

   Направляющий вектор линии AD = (-3; 0; 0)

   Нормальный вектор плоскости ABC = (-1; 33; -8)

   Используем формулу косинуса угла:

   cos(φ) = (AD • N) / (|AD| * |N|)

   AD • N = (-3)*(-1) + 0*33 + 0*(-8) = 3

   |AD| = √((-3)² + 0² + 0²) = 3

   |N| = √((-1)² + 33² + (-8)²) = √1154

   cos(φ) = 3 / (3 * √1154) = 1 / √1154

   φ = arccos(1 / √1154)

8. Смешанное произведение векторов (AB, AC, AD) и объем пирамиды ABCD:

   Смешанное произведение векторов AB, AC, AD равно детерминанту матрицы:

   • |-7 1 5|
   • | 1 1 4|
   • |-3 0 0|

   Вычислим детерминант:

   Det = (-7)*(1*0 - 4*0) - 1*(1*0 - 4*(-3)) + 5*(1*0 - 1*(-3)) = 0 - 12 + 15 = 3

   Объем пирамиды = 1/6 * |Det| = 1/6 * |3| = 0.5

9. Уравнение высоты, проведенной из точки D на плоскость ABC, и ее длина:

   Высота из точки D на плоскость ABC будет перпендикулярна этой плоскости. Мы можем использовать нормальный вектор плоскости для нахождения высоты.

   Уравнение высоты: (x - 4)/(-1) = (y - 0)/33 = (z - 1)/(-8)

   Для нахождения длины высоты используем формулу расстояния от точки до плоскости:

   Расстояние = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A² + B² + C²)

   Подставим координаты D(4;0;1) и уравнение плоскости -x + 33y - 8z = -15:

   Расстояние = |-4 + 0 - 8 - 15| / √1154 = |-27| / √1154 = 27/√1154

10. Уравнение плоскости, которая проходит через точку D и параллельна плоскости ABC:

    Параллельная плоскость будет иметь тот же нормальный вектор, но другое значение D.

    Нормальный вектор: (-1; 33; -8)

    Подставим точку D(4;0;1) в уравнение плоскости:

    -1*4 + 33*0 - 8*1 = D' => D' = -12

    Уравнение параллельной плоскости: -x + 33y - 8z = -12

Если возникли вопросы, пожалуйста, обращайтесь, я постараюсь помочь!