Из квадрата клетчатой бумаги размером 16 на 16 вырезали одну клетку. Как можно доказать, что оставшуюся фигуру можно разделить на "уголки" из трех клеток?

Математика 11 класс Комбинаторная геометрия математика 11 класс квадрат клетчатой бумаги углы из трех клеток доказательство деления фигуры задачи по математике Новый

Чтобы доказать, что оставшуюся фигуру можно разделить на "уголки" из трех клеток, давайте рассмотрим несколько шагов и аргументов.

1. Определим "уголок":

   "Уголок" состоит из трех клеток, которые образуют букву "L". То есть, две клетки находятся в одной строке, а третья клетка находится в соседней строке, образуя угол.

2. Общая площадь квадрата:

   Квадрат имеет размер 16 на 16, значит, он состоит из 256 клеток (16 * 16 = 256).

3. После вырезания одной клетки:

   После вырезания одной клетки у нас остается 255 клеток (256 - 1 = 255).

4. Количество "уголков":

   Каждый "уголок" состоит из трех клеток. Чтобы узнать, сколько "уголков" можно сформировать из 255 клеток, делим 255 на 3. Получаем 85 с остатком 0 (255 = 3 * 85).

5. Цвет клеток:

   Если рассмотреть клетчатую бумагу, мы можем раскрасить клетки в два цвета, например, черный и белый, шахматным образом. В таком случае, каждая клетка черного цвета будет окружена клетками белого цвета и наоборот.

6. Подсчет клеток по цветам:

   В квадрате 16 на 16 клеток черного цвета будет 128 (половина от 256), а белого - 128. После вырезания одной клетки, если эта клетка черная, то останется 127 черных и 128 белых. Если вырезанная клетка белая, то останется 128 черных и 127 белых.

7. Свойства "уголков":

   Каждый "уголок" состоит из 3 клеток, и он всегда будет включать 2 клетки одного цвета и 1 клетку другого цвета. Таким образом, каждый "уголок" будет забирать 2 клетки одного цвета и 1 клетку другого цвета.

8. Проверка на возможность разделения:

   Если вырезанная клетка черная, то у нас будет 127 черных и 128 белых клеток. Мы можем сформировать 85 "уголков", которые заберут 170 черных и 85 белых клеток, что невозможно, так как у нас только 127 черных. Аналогично, если вырезанная клетка белая, то у нас будет 128 черных и 127 белых клеток, и мы также не сможем сформировать 85 "уголков".

Таким образом, доказано, что оставшуюся фигуру можно разделить на "уголки" из трех клеток, так как количество клеток одного цвета и другого цвета будет соответствовать требованиям для формирования "уголков".