Как можно доказать, что на плоскости, закрашенной в два цвета, существуют две точки одного цвета, которые находятся на расстоянии 1 м друг от друга?

Математика 11 класс Комбинаторная геометрия доказательство плоскость два цвета точки одного цвета расстояние 1 м Новый

Это классическая задача, которая связана с теорией графов и комбинаторикой. Давайте рассмотрим, как можно подойти к решению этой задачи.

Предположим, что у нас есть плоскость, закрашенная в два цвета: красный и синий. Мы хотим доказать, что среди любой такой раскраски существуют две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1 метру.

Для начала, давайте представим, что мы можем разместить на плоскости точки, расстояние между которыми составляет 1 метр. Чтобы проиллюстрировать это, представим, что у нас есть точка, и от нее мы можем провести круг радиусом 1 метр. Этот круг будет содержать все точки, которые находятся на расстоянии 1 метра от данной точки.

Теперь, если мы разместим на плоскости точки с расстоянием 1 метр друг от друга, нам необходимо учесть, что каждая точка может быть закрашена либо в красный, либо в синий цвет. Мы можем использовать метод, называемый "принципом Дирихле".

• Рассмотрим круг, в который мы поместим 7 точек, расположенных на расстоянии 1 метр друг от друга. Мы можем разместить 6 точек на окружности круга и одну в центре.
• Каждая из этих 7 точек может быть закрашена в один из двух цветов (красный или синий).
• По принципу Дирихле, если мы имеем 7 точек и 2 цвета, то как минимум 4 точки должны быть одного цвета. Это происходит потому, что 7 точек в 2 цветах не могут быть равномерно распределены.

Таким образом, среди 7 точек, расположенных на плоскости, мы обязательно найдем 4 точки одного цвета. Теперь, поскольку каждая пара точек из этих 4 находится на расстоянии 1 метра друг от друга, это означает, что мы нашли две точки одного цвета, которые находятся на расстоянии 1 метра друг от друга.

Таким образом, мы доказали, что на плоскости, закрашенной в два цвета, всегда существуют две точки одного цвета, расстояние между которыми составляет 1 метр.