Похожие вопросы
2025-12-05 07:00:52
Как можно доказать, что если функция f: X → Y и множество A является подмножеством X, то выполняется равенство f(A) = {y ∈ Y | существует x ∈ X, такой что x принадлежит A и y равно f(x)}?
Математика 11 класс Функции и их свойства доказательство функции множество A подмножество X равенство f(A) y из Y x из X f(x) математика 11 класс
2025-12-05 07:01:08
Чтобы доказать равенство f(A) = {y ∈ Y | существует x ∈ X, такой что x принадлежит A и y равно f(x)}, мы будем использовать метод доказательства через включение. Это означает, что мы покажем, что левая часть равенства содержится в правой, и наоборот.
Шаг 1: Доказать, что f(A) ⊆ {y ∈ Y | существует x ∈ X, такой что x принадлежит A и y равно f(x)}- Пусть y ∈ f(A). Это означает, что существует элемент x ∈ A, такой что f(x) = y.
- Поскольку x принадлежит A, мы можем сказать, что существует x ∈ X, такой что x принадлежит A и y равно f(x).
- Таким образом, y удовлетворяет условию в правой части равенства, и мы можем заключить, что y ∈ {y ∈ Y | существует x ∈ X, такой что x принадлежит A и y равно f(x)}.
Следовательно, мы доказали, что f(A) ⊆ {y ∈ Y | существует x ∈ X, такой что x принадлежит A и y равно f(x)}.
Шаг 2: Доказать, что {y ∈ Y | существует x ∈ X, такой что x принадлежит A и y равно f(x)} ⊆ f(A)- Пусть y ∈ {y ∈ Y | существует x ∈ X, такой что x принадлежит A и y равно f(x)}. Это значит, что существует такой элемент x ∈ A, что y = f(x).
- Поскольку x принадлежит A и f(x) = y, мы можем сказать, что y является образом элемента x из множества A.
- Таким образом, y ∈ f(A), что и требуется доказать.
Следовательно, мы доказали, что {y ∈ Y | существует x ∈ X, такой что x принадлежит A и y равно f(x)} ⊆ f(A).
Теперь, поскольку мы показали обе включенности, мы можем заключить, что:
f(A) = {y ∈ Y | существует x ∈ X, такой что x принадлежит A и y равно f(x)}.