Как можно исследовать функцию (2x-1)/(x-1)^2 с помощью дифференциального исчисления, найти асимптоты и построить график этой функции?

Математика 11 класс Исследование функций и их графиков исследование функции дифференциальное исчисление асимптоты график функции (2x-1)/(x-1)^2 Новый

Для исследования функции f(x) = (2x - 1) / (x - 1)^2 с помощью дифференциального исчисления, а также для нахождения асимптот и построения графика, следуем нескольким шагам.

1. Определение области определения функции

Сначала найдем область определения функции. Функция не определена, когда знаменатель равен нулю.

• Решим уравнение (x - 1)^2 = 0. Это уравнение имеет решение x = 1.

Таким образом, область определения функции: x ∈ R, x ≠ 1.

2. Нахождение производной

Теперь найдем производную функции, чтобы исследовать ее поведение.

• Используем правило деления: если u = 2x - 1 и v = (x - 1)^2, то f'(x) = (u'v - uv') / v^2.
• Находим производные u' и v': u' = 2, v' = 2(x - 1).
• Теперь подставим в формулу: f'(x) = (2(x - 1)^2 - (2x - 1) * 2(x - 1)) / (x - 1)^4.

Упростим выражение:

• f'(x) = (2(x^2 - 2x + 1) - (4x^2 - 2x)) / (x - 1)^4.
• f'(x) = (2x^2 - 4x + 2 - 4x^2 + 2x) / (x - 1)^4 = (-2x^2 - 2x + 2) / (x - 1)^4.

3. Нахождение критических точек

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

• -2(x^2 + x - 1) = 0.
• x^2 + x - 1 = 0. Решим это уравнение с помощью дискриминанта: D = 1 + 8 = 9.
• Корни: x = (-1 ± 3) / 2. Получаем x = 1 и x = -2.

Критическая точка x = 1 не входит в область определения. Следовательно, есть только одна критическая точка x = -2.

4. Исследование знака производной

Теперь определим знак производной на интервалах (-∞, -2), (-2, 1) и (1, +∞):

• Выберем тестовые точки: x = -3, x = 0, x = 2.
• f'(-3) > 0 (функция возрастает); f'(0) < 0 (функция убывает); f'(2) < 0 (функция убывает).

Следовательно, функция имеет максимум в точке x = -2.

5. Нахождение значений функции в критических точках

Теперь найдем значение функции в точке x = -2:

• f(-2) = (2(-2) - 1) / ((-2) - 1)^2 = (-4 - 1) / 9 = -5/9.

6. Нахождение асимптот

Теперь найдем асимптоты:

• Вертикальная асимптота: x = 1 (функция стремится к бесконечности при подходе к 1).
• Горизонтальная асимптота: исследуем предел при x → ±∞:
• lim (x → ∞) f(x) = lim (x → ∞) (2x - 1) / (x - 1)^2 = lim (x → ∞) (2 - 1/x) / (1 - 1/x)^2 = 0.
• Таким образом, горизонтальная асимптота y = 0.

7. Построение графика функции

Теперь, когда у нас есть вся информация, мы можем построить график функции:

• Обозначаем критическую точку (-2, -5/9).
• Отмечаем вертикальную асимптоту x = 1 и горизонтальную асимптоту y = 0.
• Функция возрастает на интервале (-∞, -2) и убывает на интервалах (-2, 1) и (1, +∞).

Таким образом, мы можем нарисовать график, учитывая все найденные точки и асимптоты.