Как можно определить множество значений функции y=2arcsin(x^2-1)-п/2?

Математика 11 класс Исследование функций и их графиков определение множества значений функция y=2arcsin arcsin(x^2-1) математический анализ свойства функции график функции диапазон значений решение уравнения тригонометрические функции свойства arcsin Новый

Чтобы определить множество значений функции y = 2arcsin(x^2 - 1) - π/2, начнем с анализа функции arcsin и ее аргумента.

Шаг 1: Определение области определения функции arcsin

• Функция arcsin(t) определена только для значений t, которые лежат в диапазоне от -1 до 1, то есть -1 ≤ t ≤ 1.
• В нашем случае аргумент функции arcsin — это x^2 - 1. Поэтому нам нужно решить неравенство: -1 ≤ x^2 - 1 ≤ 1.

Шаг 2: Решение неравенства

• Первое неравенство: -1 ≤ x^2 - 1
• Добавим 1 к обеим сторонам: 0 ≤ x^2
• Это неравенство всегда верно для всех действительных x.

• Второе неравенство: x^2 - 1 ≤ 1
• Добавим 1 к обеим сторонам: x^2 ≤ 2.
• Теперь извлечем корень: -√2 ≤ x ≤ √2.

Шаг 3: Область определения функции y

Таким образом, область определения функции y будет: -√2 ≤ x ≤ √2.

Шаг 4: Определение значений аргумента arcsin

• Теперь найдем, какие значения принимает аргумент arcsin(x^2 - 1) при x из найденной области.
• Когда x = -√2, x^2 - 1 = 2 - 1 = 1.
• Когда x = √2, x^2 - 1 = 2 - 1 = 1.
• Когда x = 0, x^2 - 1 = 0 - 1 = -1.

Таким образом, аргумент arcsin(x^2 - 1) изменяется от -1 до 1, что соответствует диапазону значений от -1 до 1.

Шаг 5: Найдем значения функции y

• Теперь определим, как меняется функция y = 2arcsin(t) - π/2, где t = x^2 - 1.
• Когда t = -1, y = 2arcsin(-1) - π/2 = 2*(-π/2) - π/2 = -π - π/2 = -3π/2.
• Когда t = 1, y = 2arcsin(1) - π/2 = 2*(π/2) - π/2 = π - π/2 = π/2.

Шаг 6: Итоговое множество значений функции

Таким образом, множество значений функции y = 2arcsin(x^2 - 1) - π/2 при x из интервала [-√2, √2] будет от -3π/2 до π/2.

Ответ: Множество значений функции y = 2arcsin(x^2 - 1) - π/2 равно [-3π/2, π/2].