Чтобы исследовать функцию y = (1/5)x⁵ - (4/3)x³ и построить её график, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Производная функции поможет нам определить точки экстремума (максимумы и минимумы) и точки перегиба. Для функции y = (1/5)x⁵ - (4/3)x³ найдем производную y'.

• y' = (1/5) * 5x⁴ - (4/3) * 3x² = x⁴ - 4x².

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Для нашего случая:

• x⁴ - 4x² = 0.
• Можно вынести x²: x²(x² - 4) = 0.
• Таким образом, x² = 0 или x² - 4 = 0.
• Решая, получаем: x = 0, x = 2, x = -2.

Теперь нужно определить, где производная положительна, а где отрицательна. Для этого рассмотрим интервалы, разделенные критическими точками:

• Интервал (-∞, -2)
• Интервал (-2, 0)
• Интервал (0, 2)
• Интервал (2, +∞)

Подставим тестовые значения из каждого интервала в производную:

• Для x = -3: y' = (-3)⁴ - 4(-3)² = 81 - 36 = 45 (положительно)
• Для x = -1: y' = (-1)⁴ - 4(-1)² = 1 - 4 = -3 (отрицательно)
• Для x = 1: y' = (1)⁴ - 4(1)² = 1 - 4 = -3 (отрицательно)
• Для x = 3: y' = (3)⁴ - 4(3)² = 81 - 36 = 45 (положительно)

Из анализа знаков производной мы видим, что:

• На интервале (-∞, -2) функция возрастает.
• На интервале (-2, 0) функция убывает (точка x = -2 - максимум).
• На интервале (0, 2) функция убывает (точка x = 0 - минимум).
• На интервале (2, +∞) функция возрастает (точка x = 2 - максимум).

Теперь подставим критические точки в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

• y(0) = (1/5)(0)⁵ - (4/3)(0)³ = 0.
• y(2) = (1/5)(2)⁵ - (4/3)(2)³ = (1/5)(32) - (4/3)(8) = 6.4 - 10.67 = -4.27.
• y(-2) = (1/5)(-2)⁵ - (4/3)(-2)³ = (1/5)(-32) - (4/3)(-8) = -6.4 + 10.67 = 4.27.

Для этого найдем вторую производную:

• y'' = 4x³ - 8x.

Приравняем к нулю:

• 4x(x² - 2) = 0.
• Получаем: x = 0, x = √2, x = -√2.

Теперь нужно проверить знак второй производной на интервалах, определенных этими точками.

Собрав всю информацию о критических точках, значениях функции и знаках производных, можно построить график:

• Отметим точки (-2, 4.27), (0, 0), (2, -4.27).
• Укажем интервалы возрастания и убывания.
• Обозначим точки перегиба.

Теперь, используя полученные данные, можно нарисовать график функции, учитывая найденные экстремумы и поведение функции на интервалах.