Чтобы исследовать функцию y = x^3 - 3x + 3 и построить её график, следуем нескольким шагам:

Функция y = x^3 - 3x + 3 является многочленом, поэтому область определения — это все действительные числа:

Область определения: x ∈ R

Для исследования функции нам необходимо найти её производную:

y' = 3x^2 - 3

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

1. 3x^2 - 3 = 0
2. x^2 = 1
3. x = ±1

Таким образом, критические точки: x = -1 и x = 1.

Теперь определим знак производной на интервалах:

• На интервале (-∞, -1): y' > 0 (функция возрастает)
• На интервале (-1, 1): y' < 0 (функция убывает)
• На интервале (1, +∞): y' > 0 (функция возрастает)

Это говорит о том, что в точке x = -1 находится максимум, а в точке x = 1 — минимум.

Теперь найдем значения функции в этих точках:

1. y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 3 = -1 + 3 + 3 = 5
2. y(1) = (1)^3 - 3(1) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1

Таким образом, у нас есть:

• Максимум в точке (-1, 5)
• Минимум в точке (1, 1)

Теперь посмотрим на поведение функции при x стремящемся к бесконечности:

• При x → -∞, y → -∞
• При x → +∞, y → +∞

Теперь, имея всю необходимую информацию, можно построить график функции:

• Точка максимума: (-1, 5)
• Точка минимума: (1, 1)
• Функция убывает на интервале (-1, 1) и возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞)

Собрав все данные, можно нарисовать график, который будет выглядеть как плавная кривая, поднимающаяся с левой стороны, достигающая максимума в точке (-1, 5), затем опускающаяся до минимума в точке (1, 1) и снова поднимающаяся вправо.

Таким образом, мы исследовали функцию y = x^3 - 3x + 3 и построили её график.