Для исследования функции y = (1/5)x^5 - (1/3)x^3 и построения её графика, мы можем выполнить несколько шагов. Давайте разберём их по порядку.

Функция y = (1/5)x^5 - (1/3)x^3 является многочленом, и многочлены определены для всех значений x. Следовательно, область определения:

• Область определения: x ∈ R (все действительные числа).

Для изучения поведения функции, нам нужно найти её производную:

• y' = (1/5) * 5x^4 - (1/3) * 3x^2 = x^4 - x^2.

Критические точки находятся, когда производная равна нулю:

• x^4 - x^2 = 0.
• x^2(x^2 - 1) = 0.
• Следовательно, x^2 = 0 или x^2 - 1 = 0.
• Это даёт нам x = 0, x = 1 и x = -1.

Теперь мы можем проанализировать производную на интервалах, определённых критическими точками:

• Интервалы: (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, +∞).

Теперь подставим тестовые значения из каждого интервала в производную:

• Для x < -1, например, x = -2: y' = 16 - 4 > 0 (возрастает).
• Для -1 < x < 0, например, x = -0.5: y' = 0.0625 - 0.25 < 0 (убывает).
• Для 0 < x < 1, например, x = 0.5: y' = 0.0625 - 0.25 < 0 (убывает).
• Для x > 1, например, x = 2: y' = 16 - 4 > 0 (возрастает).

Чтобы найти точки перегиба, нужно вычислить вторую производную:

• y'' = 4x^3 - 2x.
• Решим уравнение y'' = 0:
• 2x(2x^2 - 1) = 0, что даёт x = 0, x = ±1/√2.

Теперь, когда мы знаем поведение функции, можем построить график:

1. Отметьте критические точки на оси x: -1, 0, 1.
2. Отметьте точки перегиба: -1/√2 и 1/√2.
3. Нанесите точки на график, учитывая интервалы возрастания и убывания.
4. Соедините точки плавной линией, соблюдая найденные интервалы.

В результате у вас получится график функции, который показывает, как она изменяется на разных интервалах. Не забудьте указать оси и отметить важные точки!