Как можно изобразить комплексное число z = 8i векторами и записать его в тригонометрической форме?

Математика 11 класс Тригонометрическая форма комплексных чисел комплексное число векторы тригонометрическая форма 8i математика 11 класс Новый

Давайте разберем, как изобразить комплексное число z = 8i векторами и записать его в тригонометрической форме.

Шаг 1: Изображение комплексного числа векторами

Комплексное число z = 8i можно представить в виде вектора на комплексной плоскости. Комплексная плоскость состоит из действительной оси (горизонтальной) и мнимой оси (вертикальной).

• Действительная часть z равна 0, так как z = 8i.
• Мнимая часть z равна 8.

Таким образом, вектор, представляющий z, будет начинаться от начала координат (0, 0) и будет направлен вверх по вертикальной оси на 8 единиц. Вы можете нарисовать стрелку от точки (0, 0) до точки (0, 8) на комплексной плоскости.

Шаг 2: Запись в тригонометрической форме

Теперь давайте запишем z в тригонометрической форме. Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:

z = r * (cos φ + i * sin φ),

где r - модуль комплексного числа, а φ - аргумент (угол) комплексного числа.

Для нашего числа z = 8i:

• Модуль r: Модуль комплексного числа определяется как r = √(a² + b²), где a и b - действительная и мнимая части соответственно. В нашем случае a = 0 и b = 8.
• r = √(0² + 8²) = √64 = 8.

• Аргумент φ: Аргумент φ можно найти с помощью тангенса: tan φ = b/a. В нашем случае tan φ = 8/0. Поскольку a = 0, это означает, что угол φ равен 90 градусам (или π/2 радиан).

Теперь мы можем подставить значения r и φ в тригонометрическую форму:

z = 8 * (cos(90°) + i * sin(90°)).

Так как cos(90°) = 0 и sin(90°) = 1, получаем:

z = 8 * (0 + i * 1) = 8i.

Итак, окончательный ответ:

• Векторное изображение: от (0, 0) до (0, 8).
• Тригонометрическая форма: z = 8 * (cos(90°) + i * sin(90°)).