Как записать комплексные числа Z1 = 2 - 2i и Z2 = -√3 - i в тригонометрической форме и какие результаты получатся при выполнении операций Z1/Z2 и Z2²?

Математика 11 класс Тригонометрическая форма комплексных чисел комплексные числа тригонометрическая форма операции с комплексными числами деление комплексных чисел возведение в степень комплексных чисел Новый

Давайте начнем с преобразования комплексных чисел Z1 и Z2 в тригонометрическую форму.

Шаг 1: Преобразование Z1 = 2 - 2i в тригонометрическую форму.

• Сначала найдем модуль Z1:
• Модуль |Z1| = √(2^2 + (-2)^2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2.
• Теперь найдем аргумент Z1:
• Аргумент φ = arctan(Imaginary part / Real part) = arctan(-2/2) = arctan(-1).
• Это значение находится в четвертой четверти, поэтому φ = -π/4.
• Таким образом, тригонометрическая форма Z1 будет:
• Z1 = 2√2 (cos(-π/4) + i sin(-π/4)).

Шаг 2: Преобразование Z2 = -√3 - i в тригонометрическую форму.

• Сначала найдем модуль Z2:
• Модуль |Z2| = √((-√3)^2 + (-1)^2) = √(3 + 1) = √4 = 2.
• Теперь найдем аргумент Z2:
• Аргумент φ = arctan(Imaginary part / Real part) = arctan(-1 / -√3) = arctan(1/√3).
• Это значение находится во второй четверти, поэтому φ = π + π/6 = 5π/6.
• Таким образом, тригонометрическая форма Z2 будет:
• Z2 = 2 (cos(5π/6) + i sin(5π/6)).

Теперь выполним операции Z1/Z2 и Z2².

Шаг 3: Деление Z1/Z2.

• Модуль Z1/Z2 = |Z1| / |Z2| = (2√2) / 2 = √2.
• Аргумент Z1/Z2 = аргумент Z1 - аргумент Z2 = (-π/4) - (5π/6).
• Чтобы вычесть, приведем к общему знаменателю:
• -π/4 = -3π/12, 5π/6 = 10π/12.
• Таким образом, аргумент Z1/Z2 = -3π/12 - 10π/12 = -13π/12.
• Итак, Z1/Z2 = √2 (cos(-13π/12) + i sin(-13π/12)).

Шаг 4: Возведение Z2 в квадрат.

• Модуль Z2² = |Z2|² = 2² = 4.
• Аргумент Z2² = 2 * аргумент Z2 = 2 * (5π/6) = 5π/3.
• Таким образом, Z2² = 4 (cos(5π/3) + i sin(5π/3)).

Итак, результаты:

• Z1 в тригонометрической форме: Z1 = 2√2 (cos(-π/4) + i sin(-π/4)).
• Z2 в тригонометрической форме: Z2 = 2 (cos(5π/6) + i sin(5π/6)).
• Z1/Z2 = √2 (cos(-13π/12) + i sin(-13π/12)).
• Z2² = 4 (cos(5π/3) + i sin(5π/3)).