Как можно определить объем тела, которое формируется при вращении фигуры вокруг оси ОХ, если эта фигура ограничена кривыми y=x^2 и y=x?

Математика 11 класс Объем тела вращения Объём тела вращения фигура вращения кривые y=x^2 и y=x ось Ох определение объема интегралы в геометрии математический анализ Новый

Чтобы определить объем тела, формируемого при вращении фигуры вокруг оси OX, необходимо выполнить несколько шагов. Мы будем использовать метод дисков или цилиндров. Давайте разберем процесс пошагово.

1. Найти точки пересечения кривых.

   Сначала определим, где кривые y = x^2 и y = x пересекаются. Для этого приравняем их:

   x^2 = x

   Переносим все в одну сторону:

   x^2 - x = 0

   Факторизуем:

   x(x - 1) = 0

   Таким образом, точки пересечения: x = 0 и x = 1.

2. Определить объем тела вращения.

   Теперь, когда мы знаем, что фигура ограничена между x = 0 и x = 1, мы можем использовать формулу для объема тела вращения:

   V = π ∫[a, b] (R^2 - r^2) dx

   где R - верхняя функция, а r - нижняя функция. В нашем случае:

   • Верхняя функция (R) – это y = x, так как она выше y = x^2 в пределах [0, 1].
   • Нижняя функция (r) – это y = x^2.
3. Записать интеграл для объема.

   Теперь мы можем записать интеграл:

   V = π ∫[0, 1] (x^2 - (x^2)^2) dx

   Упрощаем выражение под интегралом:

   V = π ∫[0, 1] (x^2 - x^4) dx

4. Вычислить интеграл.

   Теперь вычислим интеграл:

   V = π [ (1/3)x^3 - (1/5)x^5 ] от 0 до 1

   Подставим пределы интегрирования:

   V = π [ (1/3)(1)^3 - (1/5)(1)^5 - ( (1/3)(0)^3 - (1/5)(0)^5 ) ]

   V = π [ (1/3) - (1/5) ]

   Теперь найдем общий знаменатель:

   V = π [ (5/15) - (3/15) ] = π [ 2/15 ]

5. Записать окончательный ответ.

   Таким образом, объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX, равен:

   V = (2π/15) кубических единиц.

Вот и все! Мы успешно определили объем тела, образованного вращением заданной фигуры.