Помогите, пожалуйста, вычислить объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат:

1. Ф: y=e^x
2. x=0
3. x=1
4. y=0 (Ox)

Математика 11 класс Объем тела вращения Объём тела вращения фигура y=e^x ось координат интеграл математика 11 класс вычисление объёма геометрия вращения методы интегрирования Новый

Чтобы вычислить объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси абсцисс (Ox), мы воспользуемся методом дисков. Сначала определим границы интегрирования и саму функцию.

Фигура Ф ограничена следующими линиями:

• y = e^x (график экспоненты);
• x = 0 (вертикальная прямая);
• x = 1 (вертикальная прямая);
• y = 0 (горизонтальная прямая, ось Ox).

Теперь мы можем определить объем V тела вращения. Формула для объема V выглядит следующим образом:

V = π ∫[a, b] (f(x))^2 dx

В нашем случае:

• f(x) = e^x (это функция, которая ограничивает фигуру сверху);
• a = 0 (левая граница интегрирования);
• b = 1 (правая граница интегрирования).

Подставим все данные в формулу:

V = π ∫[0, 1] (e^x)^2 dx

Теперь упростим интеграл:

(e^x)^2 = e^(2x)

Таким образом, объем можно записать как:

V = π ∫[0, 1] e^(2x) dx

Теперь вычислим интеграл:

Интеграл от e^(2x) равен:

∫ e^(2x) dx = (1/2)e^(2x) + C

Теперь подставим пределы интегрирования:

V = π [(1/2)e^(2x)] от 0 до 1

Сначала подставим верхний предел (x = 1):

(1/2)e^(2*1) = (1/2)e^2

Теперь подставим нижний предел (x = 0):

(1/2)e^(2*0) = (1/2)e^0 = (1/2)*1 = (1/2)

Теперь вычтем результаты:

V = π [(1/2)e^2 - (1/2)]

Объединим выражение:

V = (π/2)(e^2 - 1)

Таким образом, объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси Ox, равен:

V = (π/2)(e^2 - 1)