Как можно определить первообразную функции f(x)=6x²+3, если известно, что график этой первообразной проходит через точку M(1;7)?

Математика 11 класс Неопределенный интеграл и первообразные функции определение первообразной функция f(x)=6x²+3 график первообразной точка M(1;7) интегрирование функции методы нахождения первообразной Новый

Чтобы найти первообразную функции f(x) = 6x² + 3, нам нужно выполнить несколько шагов. Первообразная функции, также известная как неопределенный интеграл, представляет собой функцию F(x), производная которой равна f(x). Начнем с нахождения неопределенного интеграла функции f(x).

1. Найдем неопределенный интеграл:

   Интегрирование функции f(x) = 6x² + 3 можно выполнить по отдельности для каждого слагаемого:

   • Интеграл от 6x²: ∫6x² dx = 6 * (x³/3) = 2x³.
   • Интеграл от 3: ∫3 dx = 3x.

   Таким образом, неопределенный интеграл f(x) будет равен:

   F(x) = 2x³ + 3x + C, где C - произвольная постоянная.
2. Используем условие, что график первообразной проходит через точку M(1;7):

   Теперь нам нужно найти значение постоянной C, используя информацию о точке M(1;7), которая лежит на графике функции F(x). Это означает, что:

   F(1) = 7.

   Подставим x = 1 в выражение для F(x):

   F(1) = 2(1)³ + 3(1) + C = 2 + 3 + C = 5 + C.

   Теперь приравняем это значение к 7:

   5 + C = 7.

   Решим это уравнение для C:

   C = 7 - 5 = 2.

3. Запишем окончательную форму первообразной:

   Теперь, подставив значение C в выражение для F(x), мы получаем:

   F(x) = 2x³ + 3x + 2.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 6x² + 3, проходящая через точку M(1;7), равна F(x) = 2x³ + 3x + 2.