Какую первообразную можно найти для функции f, если график этой первообразной проходит через точку M?

• f (x) = 4x + 1 ÷ x²
• M (-1; 4)

Математика 11 класс Неопределенный интеграл и первообразные функции первообразная функции график первообразной точка M функция f математика 11 класс интегрирование нахождение первообразной Новый

Чтобы найти первообразную для функции f(x) = 4x + 1 ÷ x², нам нужно проанализировать саму функцию и затем интегрировать ее. Начнем с упрощения функции.

Функция f(x) может быть записана как:

• f(x) = 4x + 1/x²

Теперь мы можем интегрировать каждую часть отдельно:

1. Первая часть: ∫4x dx
2. Вторая часть: ∫(1/x²) dx = ∫x^(-2) dx

Теперь найдем интегралы:

• ∫4x dx = 4 * (x²/2) = 2x²
• ∫x^(-2) dx = -1/x

Теперь объединим результаты:

F(x) = 2x² - 1/x + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Теперь нам нужно определить значение C, используя точку M(-1; 4), которая лежит на графике первообразной.

Подставим x = -1 в F(x) и приравняем к 4:

F(-1) = 2(-1)² - 1/(-1) + C = 2(1) + 1 + C = 2 + 1 + C = 3 + C.

Приравниваем к 4:

3 + C = 4

Теперь решим это уравнение:

C = 4 - 3 = 1.

Таким образом, первообразная функции f(x) будет:

F(x) = 2x² - 1/x + 1.

Это и есть искомая первообразная функции f, которая проходит через точку M(-1; 4).