Похожие вопросы
2025-01-06 19:27:43
Как можно проанализировать функцию y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) с применением методов дифференциального исчисления и создать ее график?
Математика11 классИсследование функций и графикованализ функциидифференциальное исчислениеграфик функцииy=1/3(x^3-14x^2+49x-36)методы анализа функциипроизводная функцииисследование функцииграфическое представлениематематический анализфункции и графики
2025-01-06 19:27:57
Для анализа функции y = 1/3(x^3 - 14x^2 + 49x - 36) с использованием методов дифференциального исчисления, мы выполним следующие шаги:
- Найти производную функции.
- Сначала упростим функцию: y = (1/3)x^3 - (14/3)x^2 + (49/3)x - 12.
- Теперь найдем производную y' = dy/dx, используя правило дифференцирования:
- y' = (1/3) * 3x^2 - (14/3) * 2x + (49/3) = x^2 - (28/3)x + (49/3).
- Найти критические точки.
- Критические точки находятся, когда производная равна нулю: x^2 - (28/3)x + (49/3) = 0.
- Умножим уравнение на 3 для удобства: 3x^2 - 28x + 49 = 0.
- Теперь найдем дискриминант D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 * 3 * 49 = 784 - 588 = 196.
- Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:
- x1 = (28 + sqrt(196)) / 6 = 7, x2 = (28 - sqrt(196)) / 6 = 2.
- Определить интервалы возрастания и убывания.
- Для этого исследуем знак производной на интервалах: (-∞, 2),(2, 7),(7, +∞).
- Выберем тестовые точки: x = 0 для первого интервала, x = 5 для второго и x = 8 для третьего.
- Подставим в производную:
- y'(0) = 0^2 - (28/3)*0 + (49/3) > 0 (возрастает).
- y'(5) = 5^2 - (28/3)*5 + (49/3) < 0 (убывает).
- y'(8) = 8^2 - (28/3)*8 + (49/3) > 0 (возрастает).
- Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, 2) и (7, +∞),и убывает на интервале (2, 7).
- Найти значения функции в критических точках.
- Находим y(2) и y(7):
- y(2) = (1/3)(2^3 - 14*2^2 + 49*2 - 36) = 4/3.
- y(7) = (1/3)(7^3 - 14*7^2 + 49*7 - 36) = 25/3.
- Определить точки перегиба.
- Найдём вторую производную: y'' = 2x - (28/3).
- Приравняем к нулю: 2x - (28/3) = 0.
- Решим: x = 14/3.
- Исследуем знак второй производной для определения выпуклости.
- Построить график функции.
- На основе полученных данных: критические точки, интервалы возрастания и убывания, точки перегиба, можно построить график функции.
- График будет иметь минимум в точке x = 2 и максимум в точке x = 7, а также изменит свою выпуклость в точке x = 14/3.
Таким образом, мы проанализировали функцию y = 1/3(x^3 - 14x^2 + 49x - 36) и получили все необходимые данные для построения ее графика.
