Как можно проанализировать функцию y=-x²+5x+4, используя производную, и как построить её график?

Математика 11 класс Исследование функций и графиков анализ функции производная функции график функции y=-x²+5x+4 максимумы и минимумы нахождение производной построение графика Новый

Для анализа функции y = -x² + 5x + 4 с использованием производной, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти производную функции

Сначала найдем производную функции y по x. Производная функции показывает, как изменяется значение функции при изменении x.

Функция y = -x² + 5x + 4. Находим производную:

• Производная от -x² равна -2x.
• Производная от 5x равна 5.
• Производная от константы 4 равна 0.

Таким образом, производная функции будет:

y' = -2x + 5.

Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для нашей производной:

-2x + 5 = 0.

Решим это уравнение:

• 2x = 5
• x = 5/2 = 2.5.

Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = 2.5.

Шаг 3: Определить характер критической точки

Чтобы понять, является ли эта критическая точка максимумом или минимумом, мы можем использовать второй производной тест. Найдем вторую производную:

y'' = -2.

Так как вторая производная отрицательна, это означает, что функция имеет максимум в точке x = 2.5.

Шаг 4: Найти значение функции в критической точке

Теперь найдем значение функции в x = 2.5:

y(2.5) = - (2.5)² + 5(2.5) + 4 = -6.25 + 12.5 + 4 = 10.25.

Таким образом, у нас есть максимум функции: точка (2.5, 10.25).

Шаг 5: Построение графика функции

Теперь, когда мы знаем максимум функции, можем построить график. Для этого выполним следующие шаги:

1. Наносим на координатную плоскость точку (2.5, 10.25).
2. Определим значение функции в нескольких других точках, например, в x = 0, x = 1, x = 3 и x = 4:
• y(0) = 4;
• y(1) = 10;
• y(3) = 10;
• y(4) = 4.
3. Наносим найденные точки на график.
4. Соединяем точки плавной кривой, образующей параболу, открывающуюся вниз.

В результате у нас получится график функции y = -x² + 5x + 4, который имеет максимум в точке (2.5, 10.25) и симметричен относительно вертикальной линии, проходящей через эту точку.