Как построить график и исследовать функцию:

1. y =
2. y = (x - 1)^2 * (x - 2)^2

Функция является чётной или нечётной?

Каковы координаты точки минимума и точки максимума?

Есть ли у графика функции асимптоты?

Сколько точек перегиба у функции?

Каковы пределы слева и справа?

ООФ

Математика 11 класс Исследование функций и графиков построить график функции исследование функции чётная функция нечётная функция координаты минимума координаты максимума Асимптоты функции точки перегиба пределы функции Новый

Давайте исследуем функцию y = (x - 1)^2 * (x - 2)^2 и ответим на все поставленные вопросы по порядку.

1. Четность функции

Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, нужно проверить, выполняется ли одно из следующих условий:

• Функция четная, если f(-x) = f(x) для всех x.
• Функция нечетная, если f(-x) = -f(x) для всех x.

В нашем случае:

• f(x) = (x - 1)^2 * (x - 2)^2
• f(-x) = ((-x) - 1)^2 * ((-x) - 2)^2 = (-(x + 1))^2 * (-(x + 2))^2 = (x + 1)^2 * (x + 2)^2

Так как f(-x) не равно f(x) и не равно -f(x), функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Точки минимума и максимума

Чтобы найти точки минимума и максимума, найдем производную функции:

f'(x) = 2(x - 1)(x - 2)^2 + 2(x - 2)(x - 1)^2

Упрощая, получаем:

f'(x) = 2(x - 1)(x - 2)((x - 1) + (x - 2)) = 2(x - 1)(x - 2)(2x - 3)

Теперь находим критические точки, приравняв производную к нулю:

• x - 1 = 0 → x = 1
• x - 2 = 0 → x = 2
• 2x - 3 = 0 → x = 3/2

Теперь проверим, где находятся точки минимума и максимума, используя второй производную:

f''(x) = 4(x - 1)(x - 2) + 2(x - 2) + 2(x - 1) = 4x^2 - 12x + 8

Подставляя критические точки в f''(x), мы можем определить, где максимумы и минимумы:

• f''(1) > 0 → минимум
• f''(2) > 0 → минимум
• f''(3/2) < 0 → максимум

Таким образом, точки минимума: (1, 0) и (2, 0), а точка максимума: (3/2, 1/4).

3. Асимптоты

Асимптоты возникают, когда функция стремится к бесконечности или имеет разрыв. В нашем случае функция является многочленом, и у нее нет вертикальных или горизонтальных асимптот. Таким образом, у графика функции нет асимптот.

4. Точки перегиба

Чтобы найти точки перегиба, найдем третью производную и определим, где она меняет знак:

f'''(x) = 0

Решая это уравнение, мы можем найти точки перегиба. В данном случае у функции будет 2 точки перегиба.

5. Пределы слева и справа

Когда x стремится к бесконечности (пределы справа):

• lim (x → ∞) f(x) = ∞

Когда x стремится к минус бесконечности (пределы слева):

• lim (x → -∞) f(x) = ∞

Таким образом, мы исследовали функцию y = (x - 1)^2 * (x - 2)^2 и ответили на все вопросы. Надеюсь, это поможет вам в изучении функций и построении их графиков!