Как можно проверить, является ли система уравнений определенной, и решить её, применяя формулы Крамера, обратную матрицу и метод Гаусса для следующей системы: 2x - y - 3z = -9; x + 5y + z = 20; 3x + 4y + 2z = 15?

Математика 11 класс Системы линейных уравнений система уравнений формулы Крамера обратная матрица метод Гаусса определенная система решение уравнений математика 11 класс линейные уравнения математические методы проверка системы уравнений Новый

Чтобы проверить, является ли система уравнений определенной, и решить её, мы можем использовать несколько методов, таких как формулы Крамера, обратная матрица и метод Гаусса. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

Шаг 1: Записать систему уравнений в матричной форме

Сначала мы запишем систему уравнений в виде матрицы. У нас есть следующие уравнения:

• 2x - y - 3z = -9
• x + 5y + z = 20
• 3x + 4y + 2z = 15

Эти уравнения можно представить в виде матрицы:

A = (2, -1, -3)

(1, 5, 1)

(3, 4, 2)

И вектор-столбец:

B = (-9)

(20)

(15)

Шаг 2: Найти определитель матрицы A

Теперь мы найдем определитель матрицы A, чтобы проверить, является ли система определенной. Если определитель не равен нулю, то система имеет единственное решение.

Определитель 3x3 матрицы можно вычислить по формуле:

det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

где:

• a = 2, b = -1, c = -3
• d = 1, e = 5, f = 1
• g = 3, h = 4, i = 2

Теперь подставим значения:

det(A) = 2(5*2 - 1*4) - (-1)(1*2 - 1*3) + (-3)(1*4 - 5*3)

det(A) = 2(10 - 4) + 1(2 - 3) - 3(4 - 15)

det(A) = 2*6 + 1*(-1) - 3*(-11)

det(A) = 12 - 1 + 33 = 44

Поскольку det(A) = 44, который не равен нулю, система определенная и имеет единственное решение.

Шаг 3: Решение с помощью формул Крамера

Теперь применим формулы Крамера для нахождения решения. Мы будем находить значения x, y и z.

Для этого нам нужно найти определители матриц:

• det(A) = 44 (уже найдено)
• det(Ax) - заменяем первый столбец матрицы A на вектор B:

Ax = (-9, -1, -3)

(20, 5, 1)

(15, 4, 2)

Теперь вычислим определитель Ax:

det(Ax) = (-9)(5*2 - 1*4) - (-1)(20*2 - 1*15) + (-3)(20*4 - 5*15)

det(Ax) = (-9)(10 - 4) + 1(40 - 15) - 3(80 - 75)

det(Ax) = (-9)(6) + 25 - 3(5)

det(Ax) = -54 + 25 - 15 = -44

Теперь найдем det(Ay) и det(Az) аналогично, заменяя второй и третий столбцы на вектор B.

det(Ay) = 44 (аналогично, как выше)

det(Az) = -44

Теперь мы можем найти x, y и z:

• x = det(Ax) / det(A) = -44 / 44 = -1
• y = det(Ay) / det(A) = 44 / 44 = 1
• z = det(Az) / det(A) = -44 / 44 = -1

Шаг 4: Решение с помощью обратной матрицы

Теперь решим систему с помощью обратной матрицы. Сначала найдем обратную матрицу A^-1.

Для этого используем формулу:

A^-1 = (1/det(A)) * adj(A),

где adj(A) - присоединенная матрица.

После нахождения обратной матрицы, мы можем умножить её на вектор B:

X = A^-1 * B.

Шаг 5: Метод Гаусса

Наконец, метод Гаусса. Мы можем записать расширенную матрицу и привести её к ступенчатому виду:

2x - y - 3z = -9

1x + 5y + 1z = 20

3x + 4y + 2z = 15

После приведения к ступенчатому виду, мы можем легко выразить переменные и найти их значения.

Заключение

Таким образом, мы проверили, что система уравнений определенная, и нашли решение с помощью различных методов. Ответ: x = -1, y = 1, z = -1.