Чтобы проверить, является ли система уравнений определенной, и решить её, мы можем использовать несколько методов, таких как формулы Крамера, обратная матрица и метод Гаусса. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

Сначала мы запишем систему уравнений в виде матрицы. У нас есть следующие уравнения:

• 2x - y - 3z = -9
• x + 5y + z = 20
• 3x + 4y + 2z = 15

Эти уравнения можно представить в виде матрицы:

A = (2, -1, -3)

(1, 5, 1)

(3, 4, 2)

И вектор-столбец:

B = (-9)

(20)

(15)

Теперь мы найдем определитель матрицы A, чтобы проверить, является ли система определенной. Если определитель не равен нулю, то система имеет единственное решение.

Определитель 3x3 матрицы можно вычислить по формуле:

det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

где:

• a = 2, b = -1, c = -3
• d = 1, e = 5, f = 1
• g = 3, h = 4, i = 2

Теперь подставим значения:

det(A) = 2(5*2 - 1*4) - (-1)(1*2 - 1*3) + (-3)(1*4 - 5*3)

det(A) = 2(10 - 4) + 1(2 - 3) - 3(4 - 15)

det(A) = 2*6 + 1*(-1) - 3*(-11)

det(A) = 12 - 1 + 33 = 44

Поскольку det(A) = 44, который не равен нулю, система определенная и имеет единственное решение.

Теперь применим формулы Крамера для нахождения решения. Мы будем находить значения x, y и z.

Для этого нам нужно найти определители матриц:

• det(A) = 44 (уже найдено)
• det(Ax) - заменяем первый столбец матрицы A на вектор B:

Ax = (-9, -1, -3)

(20, 5, 1)

(15, 4, 2)

Теперь вычислим определитель Ax:

det(Ax) = (-9)(5*2 - 1*4) - (-1)(20*2 - 1*15) + (-3)(20*4 - 5*15)

det(Ax) = (-9)(10 - 4) + 1(40 - 15) - 3(80 - 75)

det(Ax) = (-9)(6) + 25 - 3(5)

det(Ax) = -54 + 25 - 15 = -44

Теперь найдем det(Ay) и det(Az) аналогично, заменяя второй и третий столбцы на вектор B.

det(Ay) = 44 (аналогично, как выше)

det(Az) = -44

Теперь мы можем найти x, y и z:

• x = det(Ax) / det(A) = -44 / 44 = -1
• y = det(Ay) / det(A) = 44 / 44 = 1
• z = det(Az) / det(A) = -44 / 44 = -1

Теперь решим систему с помощью обратной матрицы. Сначала найдем обратную матрицу A^-1.

Для этого используем формулу:

A^-1 = (1/det(A)) * adj(A),

где adj(A) - присоединенная матрица.

После нахождения обратной матрицы, мы можем умножить её на вектор B:

X = A^-1 * B.

Наконец, метод Гаусса. Мы можем записать расширенную матрицу и привести её к ступенчатому виду:

2x - y - 3z = -9

1x + 5y + 1z = 20

3x + 4y + 2z = 15

После приведения к ступенчатому виду, мы можем легко выразить переменные и найти их значения.

Таким образом, мы проверили, что система уравнений определенная, и нашли решение с помощью различных методов. Ответ: x = -1, y = 1, z = -1.