Как можно с помощью математической индукции показать, что n²(n⁴ - 1) делится на 60?

Математика 11 класс Математическая индукция математическая индукция делимость на 60 n²(n⁴ - 1) доказательство теория чисел свойства делимости математический анализ Новый

Для того чтобы показать, что выражение n²(n⁴ - 1) делится на 60 для всех натуральных n, мы воспользуемся методом математической индукции. Мы начнем с проверки базового случая, а затем предположим, что утверждение верно для некоторого n, и покажем, что оно верно и для n + 1.

Шаг 1: Базовый случай

Проверим утверждение для n = 1:

• n²(n⁴ - 1) = 1²(1⁴ - 1) = 1(1 - 1) = 1 * 0 = 0.
• 0 делится на 60.

Таким образом, базовый случай выполнен.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что для некоторого натурального числа k верно, что k²(k⁴ - 1) делится на 60. То есть, существует такое целое число m, что:

k²(k⁴ - 1) = 60m.

Шаг 3: Индукционный шаг

Теперь нам нужно показать, что (k + 1)²((k + 1)⁴ - 1) также делится на 60.

Рассмотрим выражение (k + 1)²((k + 1)⁴ - 1):

• (k + 1)² = k² + 2k + 1.
• (k + 1)⁴ = (k² + 2k + 1)² = k⁴ + 4k³ + 6k² + 4k + 1.
• Тогда (k + 1)⁴ - 1 = k⁴ + 4k³ + 6k² + 4k.

Теперь подставим это в наше выражение:

(k + 1)²((k + 1)⁴ - 1) = (k² + 2k + 1)(k⁴ + 4k³ + 6k² + 4k).

Теперь мы можем разложить это произведение и проанализировать, какие множители могут делиться на 60.

Шаг 4: Проверка делимости на 60

Число 60 разлагается на множители как 2² * 3 * 5. Мы проверим делимость на каждый из этих множителей:

• Делимость на 4:
  • k² всегда четное, если k четное. Если k нечетное, то k² будет нечетным, но (k² + 2k + 1) будет четным.
  • Таким образом, (k + 1)² будет четным.
• Делимость на 3:
  • По теореме о делимости, одно из трех последовательных чисел (k, k + 1, k + 2) всегда делится на 3.
• Делимость на 5:
  • По аналогии, одно из пяти последовательных чисел (k, k + 1, k + 2, k + 3, k + 4) всегда делится на 5.

Таким образом, мы показали, что (k + 1)²((k + 1)⁴ - 1) делится на 60, если k²(k⁴ - 1) делится на 60.

Заключение

Поскольку мы выполнили базовый случай и индукционный шаг, мы можем заключить, что n²(n⁴ - 1) делится на 60 для всех натуральных n.