Как можно доказать, что 3n² - 2 не делится на 7? Если же делится, приведите контрпример. Я слышал, что это можно сделать с помощью математической индукции, но у меня не получается.

Математика 11 класс Математическая индукция доказательство делимости 3n² - 2 не делится на 7 математическая индукция контрпример свойства чисел делимость на 7 доказательство в математике Новый

Для начала, давайте проанализируем выражение 3n² - 2 и выясним, может ли оно делиться на 7 для различных значений n. Мы будем проверять, какие остатки при делении на 7 может принимать выражение 3n² - 2.

Для этого удобно рассмотреть все возможные значения n по модулю 7, то есть n может принимать значения от 0 до 6. Мы будем подставлять каждое значение n в выражение 3n² - 2 и вычислять остаток от деления на 7.

1. Для n = 0:
   • 3n² - 2 = 3*0² - 2 = -2
   • Остаток при делении на 7: -2 ≡ 5 (мод 7)
2. Для n = 1:
   • 3n² - 2 = 3*1² - 2 = 1
   • Остаток при делении на 7: 1
3. Для n = 2:
   • 3n² - 2 = 3*2² - 2 = 10
   • Остаток при делении на 7: 10 ≡ 3 (мод 7)
4. Для n = 3:
   • 3n² - 2 = 3*3² - 2 = 25
   • Остаток при делении на 7: 25 ≡ 4 (мод 7)
5. Для n = 4:
   • 3n² - 2 = 3*4² - 2 = 46
   • Остаток при делении на 7: 46 ≡ 4 (мод 7)
6. Для n = 5:
   • 3n² - 2 = 3*5² - 2 = 73
   • Остаток при делении на 7: 73 ≡ 2 (мод 7)
7. Для n = 6:
   • 3n² - 2 = 3*6² - 2 = 106
   • Остаток при делении на 7: 106 ≡ 1 (мод 7)

Теперь соберем все остатки:

• n = 0: остаток 5
• n = 1: остаток 1
• n = 2: остаток 3
• n = 3: остаток 4
• n = 4: остаток 4
• n = 5: остаток 2
• n = 6: остаток 1

Таким образом, мы видим, что выражение 3n² - 2 может принимать остатки 1, 2, 3, 4 и 5 при делении на 7, но не может быть равно 0. Это означает, что 3n² - 2 не делится на 7 для любого целого n.

Следовательно, мы можем утверждать, что 3n² - 2 не делится на 7 для всех целых n.